Жизнь Георга Кантора

Не позже 1895 г., т. е. за два года до публикации Бурали-Форти, Кантор сам столкнулся с так называемым парадоксом Бурали-Форти, касающимся множества всех порядковых чисел, и в 1896 г. сообщил о нем Гильберту[23]. Далее, в 1899 г. он пишет Дедекинду также о других противоречивых системах, например, о совокупности всех мощностей или всего мыслимого, и называет их «неконсистентными» (или «абсолютно бесконечными») системами. В противоположность этому, система может рассматриваться как множество, «если совокупность элементов некоторого разнообразия непротиворечивым образом мыслима как совместно существующая»[24]. Парадокс, возникающий из множества всех порядковых чисел, по мнению Кантора как раз и означает, что существуют «некоторые разнообразия, не мыслимые также в виде однообразия». Опираясь на эти не особенно ясные понятия, он утверждает далее, что эквивалентные разнообразия одновременно являются множествами или неконсистентны, и что подразнообразие множества есть снова множество. Дальше он рассуждает следующим образом. Пусть W − система всех порядковых чисел, V − разнообразие, не имеющее в качестве мощности никакого алефа; тогда легко видеть, что «вся система W проектируется в разнообразие V» т. е. V должно содержать подразнообразие, эквивалентное W; и если, таким образом, V вообще имеет определенную мощность, то она должна быть алефом. Как мало это «доказательство» удовлетворяло его самого, видно из того, что он вскоре обратился с просьбой к Дедекинду дать с помощью его теории цепей «прямое» доказательство сравнимости. Таким образом, с 1884 года до смерти Кантора нерешенная проблема континуума упорно его беспокоила, временами вызывая у него даже сомнение, состоятельна ли теория множеств как научное построение в ее нынешнем виде.

В перегоняющих друг друга письмах, относящихся к периоду успешной деятельности Кантора (1899 г.), содержатся и другие вещи, заслуживающие упоминания.

Так, 29 августа Дедекинд сообщает другу доказательство эквивалентности с помощью своей теории цепей, на возможность которого он уже весной 1897 г. указывал Ф. Берштейну[25]. Далее, Кантор формулирует известную альтернативу относительно возможных отношений эквивалентности между двумя множествами M и N: каждое из них либо эквивалентно некоторому подмножеству другого, либо не эквивалентно никакому из них; таким образом, имеется четыре мыслимых комбинации (одна из которых, соответствующая «несравнимости», была позже исключена в силу теоремы о полной упорядоченности). Этот метод, сейчас для нас почти самоочевидный, до тех пор не встречался в работах Кантора; по рассказу Шенфлиса[26], письмо, в котором Кантор сообщил его в Геттинген, было там воспринято как откровение и переходило из рук в руки. Наконец, в тех же письмах Кантора утверждения о существовании множеств (т. е. консистентных разнообразий) с кардинальными числами объявляются аксиомами элементарной, соответственно, расширенной арифметики; это вполне соответствует духу впоследствии построенной Расселом теории “individuals” («индивидуумов»).

В том же 1897 г., когда вышла последняя работа Кантора, в Цюрихе состоялся первый «Международный математический конгресс». Он встретил на конгрессе единодушное признание; наряду с секционным сообщением Адамара, использовавшего понятия теории множеств как уже известные и необходимые орудия, доклад Гурвица на первом пленарном заседании «О развитии общей теории аналитических функций в новейшее время» особенно ярко продемонстрировал, насколько плодотворными оказались для теории функций идеи Кантора и среди них столь оспаривавшиеся трансфинитные числа. Надо отметить, что три уже тогда ведущих исследователя, Гильберт, Гурвиц и Минковский, состоявшие между собой в дружбе, первые в странах немецкого языка поняли и пытались разъяснить оригинальность идей Кантора и значение его теории множеств; было это еще «в то время, когда в задававших тогда тон математических кругах самое имя Кантора было под запретом, а в его трансфинитных числах видели всего лишь вредные порождения фантазии»[27]. Не только значение этих ученых, но также их особая связь со строгими методами теории чисел способствовали разрушению многих предубеждений против теоретико-множественных построений.