Жизнь науки

Является ли эта аксиома разрешимости каждой данной проблемы характерной особенностью только математического мышления или, быть может, имеет место общий, о,тносящийся к внутренней сущности нашего разума закон, по которому все вопросы, которые он ставит, способны быть им разрешимы? Встречаются ведь в других областях знания старые проблемы, которые были самым удовлетворительным образом и к величайшей пользе науки разрешены путем доказательства невозможности их решения. Я вспоминаю проблему perpetuum mobile (вечный двигатель) [79]. После напрасных попыток конструирования вечного двигателя стали, наоборот, исследовать соотношения, которые должны существовать между силами природы, в предположении, что perpetuum mobile невозможен. И эта постановка обратной задачи привела к открытию закона сохранения энергии, из которой и вытекает невозможность perpetuum mobile в первоначальном понимании его смысла.

Это убеждение в разрешимости каждой математической проблемы является для нас большим подспорьем в работе; мы слышим внутри себя постоянный призыв: вот проблема, ищи решение. Ты можешь найти его с помощью чистого мышления; ибо в математике не существует Igno-rabimus!

Неизмеримо множество проблем в математике, и как только одна проблема решена, на ее место всплывают бесчисленные новые проблемы. Разрешите мне в дальнейшем, как бы на пробу, назвать несколько определенных проблем из различных математических дисциплин, проблем, исследование которых может значительно стимулировать дальнейшее развитие науки.

Обратимся к основам анализа и геометрии. Наиболее значительными ii важными событиями последнего столетия в этой области являются, как мне кажется, арифметическое овладение понятием континуума в работах Коши, Больцано, Кантора и открытие неэвклидовой геометрии Гауссом, Бойяи и Лобачевским. Я привлекаю поэтому Ваше внимание к некоторым проблемам, принадлежащим к этим областям.

ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ

Геометрия,— так же как и арифметика,— требует для своего построения только немногих простых основных положений. Эти основные положения называются аксиомами геометрии. Установление аксиом геометрии и исследование их взаимоотношений — это задача, которая со времен Эвклида являлась темой многочисленных прекрасных произведений математической литературы. Задача эта сводится к логическому анализу нашего пространственного представления.

Настоящее исследование представляет собой новую попытку установить для геометрии полную и возможно более простую систему аксиом и вынести из этих аксиом важнейшие геометрические теоремы так, чтобы при этом стало совершенно ясно значение как различных групп аксиом, так и следствий, получающихся из отдельных аксиом.

***

Настоящая работа представляет собой критическое исследование основ геометрии; в этом исследовании нами руководил принцип разбирать каждый представившийся вопрос так, чтобы при этом исследовать, можно ли получить на него ответ на предначертанном заранее пути при помощи определенных ограниченных вспомогательных средств. Этот принцип содержит, как мне кажется, общее и естественное положение, когда мы при наших математических исследованиях встречаемся с некоторой проблемой или предполагаем справедливость некоторой теоремы, то наше стремление к познанию бывает удовлетворено лишь после того, как нам удастся полностью решить проблему и строго доказать теорему, или после того, как нами полностью осознается невозможность такого реше-пия (или доказательства) и тем самым становится очевидным, что все такие попытки неминуемо обречены на неудачу.

Поэтому-то в новой математике вопрос о невозможности определенных решений или неразрешимости некоторых задач играет выдающуюся роль, и стремление ответить на подобного рода вопрос часто служило толчком для открытия новых и плодотворных областей исследования. Напомним только о доказательстве Абеля невозможности решения уравнения пятой степени в радикалах, далее, о выяснении недоказуемости аксиомы о параллельных и, наконец, о теоремах Эрмита и Линдеман-на — о невозможности построить числа е я и алгебраическим путем.

Тот принцип, в силу которого следует повсюду выяснять условия возможности доказательства, теснейшим образом связан также с требованием «чистоты» методов доказательства — требованием, энергично выдвигаемым многими математиками. Это требование, в сущности, есть не что иное, как субъективное выражение принципа, которому мы здесь следовали. В настоящем геометрическом исследовании мы всюду стремились установить, какие аксиомы, предположения или вспомогательные средства необходимы для доказательства некоторой истины элементарной геометрии; какой метод доказательства следует предпочесть исходя из принятой только что точки зрения.

РАССЕЛ

(1872—1970)