Жизнь в невозможном мире

Этот принцип, пожалуй, является наиболее важным и обсуждался мною в основном тексте. Здесь я сформулирую его более формально. В физике законы природы выражаются в математической форме. Так вот, принцип универсальности гласит, что эта формулировка не должна зависеть от выбора системы координат в пространстве и времени (в физике это также называется выбором системы отсчета). Иными словами, законы природы должны формулироваться в форме инвариантной относительно выбора системы координат.

Поясню на простом примере. Возьмем прямоугольный ящик и нарисуем на одной из его сторон две точки. Так вот, расстояние между ними не зависит от того, какие из сторон ящика мы объявим шириной, длиной или высотой, выбор которых и является выбором системы координат. Утверждение типа «расстояние между точками А и Б равно расстоянию между точками В и Г» не зависит от того, какую системы координат мы выберем.

Пониманием принципа универсальности физика обязана Альберту Эйнштейну, который и положил этот принцип в основу теории относительности. По какой-то иронии судьбы многие считают, что эта теория про то, что «все относительно». На самом же деле она не о том, что меняется, а о том, что вечно.

Принцип наименьшего действия

Этот принцип является, пожалуй, следующим по важности и широте охвата. Начнем с его формулировки в классической механике. Рассмотрим пример: движение точечной частицы из точки А в точку В. Утверждается, что частица «выберет» такую траекторию движения, для которой величина S, называемая действием, является минимальной. Для точечной частицы массы т, движущейся со скоростью v (много меньшей скорости света) в поле с потенциальной энергией U(r), действие на траектории, соединяющей точки (t₁, r₁) и (t₂, r₂) определяется следующей формулой:

Оказывается, что условие минимума S достигается на траектории, определяемой вторым законом Ньютона:

Итак, принцип наименьшего действия в классической нерелятивистской механике эквивалентен закону Ньютона и на первый взгляд кажется лишним. Оказалось однако, что принцип этот намного более фундаментален, чем закон Ньютона, так как, в отличие от последнего, позволяет обобщение и на релятивистскую механику (то есть на движения со скоростями, близкими к скорости света), и на механику квантовую.

NB: В оставшейся части текста я не обсуждаю гравитацию.

Пространство-время

Следуя Эйнштейну, обобщим принцип наименьшего действия на движение частиц со скоростью, близкой к скорости света. Для этого нам нужно усвоить один фундаментальный факт, касающийся свойств пространства и времени. Факт этот состоит в том, что пространство и время образуют некое фундаментальное единство (его так и называют «пространственно-временный континуум»). Следствием является то, что время течет (точнее, часы идут) неодинаково в разных системах отсчета, например, время на Земле и в движущемся относительно нее космическом корабле течет по-разному (т. е. идут по-разному часы).

Эйнштейн показал, что инвариантом относительно замены системы координат в пространстве-времени является величина, называемая интервалом. Квадрат интервала между двумя бесконечно близкими событиями, происшедшими в точках (t, х, у, z) и (t + dt, х + dx, y + dy,z + dz) определен как

ds² = c²dt² — dx² — dy² — dz²,

где с — скорость света в вакууме (имеется в виду плоское пространство, так как гравитация здесь не обсуждается). Обратите внимание, что, так как время и пространство имеют разные размерности (первое измеряется в секундах, а второе — в метрах), складывать их друг с другом можно, только приведя их к какому-то единству, что и достигается умножением времени на скорость света. Присутствие такой скорости в этой инвариантной формуле означает, что скорость света есть мировая постоянная, не зависящая от системы отсчета.

Все математические операции преобразования четырехмерного пространства времени образуют группу, носящую имя Лоренца.

Теперь посмотрите, как красиво Эйнштейн выводит из принципа универсальности и инвариантности интервала действие для свободной частицы (то есть частицы в отсутствие внешних сил). Он рассуждал так: действие — просто число, то есть скаляр. Далее, это число зависит от траектории частицы во времени и пространстве. Раз законы природы не зависят от выбора системы отсчета, действие должно быть инвариантно относительно выбора координат. Что обладает такими свойствами? Интервал между двумя точками. Поэтому естественно предположить: что действие для движения частицы из одной точки пространства-времени в другую пропорционально интервалу между этими точками. Но действие имеет размерность энергии, умноженной на время, значит, естественно домножить интервал на массу частицы и скорость света. Вот итог:

(Для читателя, интересующегося тем, как эта более общая формула соотносится с формулой нерелятивистской механики, объясняю. На скоростях, много меньших скорости света, мы имеем:

Подставляя это выражение в формулу (3), получим: