Журнал «Компьютерра» №47-48 от 20 декабря 2005 года

Пару лет спустя, встретившись с одноклассником, избравшим карьеру биолога, после совместного распития неизвестных напитков, я узнал следующую историю. Товарищ рассказал, что бюллетень «Вопросы прикладной орнитологии» недавно напечатал интереснейшую статью одного известного ученого, в которой приводились неопровержимые, даже подкрепленные милицейскими документами факты необычайного поведения домашних птиц, в частности индюков. Автор статьи делал вывод, что птицы, проживая долгое время совместно с человеком, серьезно эволюционируют. В них даже просыпается коллективный разум. Причем сила их разума во многом определялась солнечной активностью. Поэтому на юге России птицы изменялись быстрее. Ученый проводил крайне смелые эксперименты, закончившиеся полным успехом. Результаты их могут привести к настоящей революции в орнитологии.

Что же, с нетерпением ожидаю запроса из Академии наук…

Наука: Проблемы 2000 года: Гипотеза Берча-Свиннертон-Дайера

В одной из предыдущих статей раздела (посвященной гипотезе Ходжа; «КТ» #609) мы уже касались алгебраической геометрии. Тогда же упоминалось, что к ней имеют прямое отношение как минимум три из семи задач на миллион. Об одной из таких задач мы и поговорим: гипотеза Берча-Свиннертон-Дайера касается рациональных точек алгебраических многообразий – иными словами, рациональных решений полиномиальных уравнений.

Введение

Алгебраическую геометрию, как и многие другие области математики, невозможно причислить ни к древним, ни к современным разделам науки. С одной стороны, ничто не ново под луной: еще древних греков, заложивших основы самого метода математического познания, интересовали проблемы, которые и сегодня исследует алгебраическая геометрия. С другой же – о глубине современных методов и задач этой науки древние греки не могли даже догадываться (как зачастую и нынешние математики, работающие в других областях).

Ключевые задачи алгебраической геометрии сформулировать и понять совсем не трудно. Вот, например, общее направление, к которому относится и гипотеза Берча-Свиннертон-Дайера: выяснить, сколько у данного полиномиального уравнения решений в рациональных[Имеющих вид p/q, где p, q – целые. – Л.Л.-М.] числах. Но чтобы сформулировать саму гипотезу, требуется изрядная подготовка.

Немного истории

Как мы уже упоминали, общая проблема поиска рациональных решений была поставлена – и в самых простых частных случаях решена – очень давно. Одна из древнейших формулировок, встречающаяся еще в арабских трактатах X века, имеет геометрическую природу. Это так называемая задача о конгруэнтных числах: какие рациональные числа могут быть площадями прямоугольных треугольников с рациональными длинами сторон? Однажды Фибоначчи[Он же Леонардо Пизанский, итальянский ученый и одновременно купец (1170—1250). – Л.Л.-М.], находясь при дворе Фредерика II, не сходя с места нашел такой треугольник с площадью 5; есть и более экзотические примеры. Ответ таков (желающие могут его проверить): n – конгруэнтное число тогда и только тогда, когда число рациональных решений уравнения y2 = x3 – n2x бесконечно.

Первым, кто поставил проблему поиска рациональных решений в ее современном смысле, был великий французский математик Анри Пуанкаре. Пуанкаре сделал для развития математики (в том числе алгебраической геометрии) и физики очень многое. О других его достижениях у нас еще будет повод поговорить, ведь именно он сформулировал одну из «задач на миллион», в его честь и названную гипотезой Пуанкаре.

Брайан Берч (Bryan Birch) и Питер Свиннертон-Дайер (Peter Swinnerton-Dyer) (да-да, Берч-Свиннертон-Дайер – это два человека, а не три) занимались этой проблемой в начале шестидесятых. Примечательно, что у истоков гипотезы стоит один из ранних компьютеров – кембриджский EDSAC, с помощью которого Берч и Свиннертон-Дайер исследовали поведение так называемых эллиптических кривых (что это такое, поясним чуть позже).

Суть