Журнал «Вокруг Света» №09 за 2008 год

Цифры этого бесконечного разложения получают по определенным алгоритмам, которые задают процесс конструирования числа, шаг за шагом все ближе подходя к «истинному» значению π. При этом одни подходы дают удовлетворительные приближения быстрее других, и в этом состоит цель поиска новых алгоритмов. Конечно, ни один метод не даст нам все знаки числа π, поскольку не в наших силах отобразить на бумаге или в памяти компьютера их бесконечную последовательность. Поэтому на практике мы располагаем лишь конечными (пусть и весьма длинными) фрагментами записи числа π и алгоритмами для вычисления еще неизвестных его знаков. Но алгоритмы есть продукт человеческой изобретательности и сильно различаются между собой. Кто знает, не дадут ли они разные результаты при вычислении, скажем, стотриллионного или еще более далекого знака числа π? А раз так, то нет оснований говорить о том, что число π существует само по себе вне и независимо от человеческого разума.

Различные вариации этой точки зрения известны в философии математики под названиями конструктивизм и интуиционизм. Первый термин отражает установку, согласно которой признается существование лишь тех математических объектов, которые хотя бы теоретически можно сконструировать за конечное время. Второй апеллирует к понятию математической интуиции, которой, как предполагается, доступны лишь конечные объекты, а потому бесконечные сущности вроде полной последовательности знаков числа π, даже если и существуют в каком-то смысле, не могут быть предметом доказательных рассуждений в математике.

История уточнения числа пи

25/8 = 3,125 — Вавилония, начало XIX в. до н. э.

256/81 [?] 3,160 — Египет, до 1850 г. до н. э. («Московский математический папирус»)

339/108 ≈ 3,139 — Индия, IX в. до н. э. («Шатапатха-брахмана»)

223/71 (3,1408) < π < 22/7 (3,1428) — Архимед, Греция, 250 г. до н. э.

3,1416 — Лю Хуэй, Китай (царство Вэй), 263 г.

3,1415926 < π < 3,1415927 — Цзу Чунчжи, Китай, ок. 480 г.

3,14159265359 — Мадхава из Сангамаграма, Индия, около 1400 г.

16 знаков — Джемшид аль-Каши, Персия, 1424 г.

35 знаков — Людольф ван Цейлен, Голландия, около 1600 г. (потратил большую часть жизни)

100 знаков — Джон Мэчин, Англия, 1706 г.

200 знаков — Захариас Дазе, Германия, 1844 г. (2 месяца устного счета)

527 знаков — Уильям Шенкс, Англия, 1873 г. (15 лет вычислений)

2037 знаков — Джон фон Нейман, США, 1949 г. (ENIAC, 70 часов счета)

16 167 знаков — Франсуа Женюи, Франция, 1959 г. (IBM 704, 4,3 часа счета)

1 001 250 знаков — Джин Гийу и Мартин Буйе, Франция, 1973 г. (CDC 7600)

1 011 196 691 знаков — братья Чудновские, США, 1989 г. (IBM 3090, на базе формулы С. Рамануджана)

206 158 430 000 знаков — Ясумаса Канада, Япония, 1999 г.

1 241 100 000 000 знаков — Ясумаса Канада, Япония, 2002 г. (HITACHI SR8000/MPP, 64 процессора, 600 часов счета)

Три взгляда на одно число

Теперь мы можем представить три основные точки зрения на то, в каком смысле существует математический объект π. Во-первых, это эмпирически определенное отношение длины окружности круглого предмета к его диаметру, причем геометрические термины здесь служат лишь для указания на приближенные свойства физических предметов. Хотя эта точка зрения кажется самой естественной, ее трудно защитить. Фундаментальное затруднение состоит в том, что универсальные математические истины невозможно обосновывать частными эмпирическими обстоятельствами.