Журнал «Вокруг Света» №09 за 2008 год

Эмпиризм как точка зрения на существование математических объектов, помимо тривиального тезиса об опытном происхождении всего знания, особо ярко проявляется в двух аспектах. Прежде всего эмпирические истины ассоциируются с интуитивно понятными математическими утверждениями, такими как «2 + 2 = 4». Именно такие утверждения Давид Гильберт назвал реальными в том смысле, что в них невозможно усомниться в силу их непосредственной связи с нашим опытным восприятием внешнего мира. Между тем высшая математика полна очень далеких от опыта и интуиции утверждений и концепций, которые в терминологии Гильберта являются идеальными в том смысле, что служат целям построения непротиворечивой сложной символической системы, в целом называемой математикой, и связывают между собой отдельные ее понятные фрагменты. Но еще важнее вопрос о том, как эмпирически обосновывать математическое знание. Легко сложить два камешка с другими двумя и получить четыре. Но что если попытаться подтвердить подобным образом математическую истину «2000 + 2000 = 4000». В силу несовершенства наших способностей мы вполне можем получить не 4000, а, скажем, 3999 или 4001, или 3997. Как истинные эмпиристы, мы в качестве ответа берем среднее и получаем дробь. Однако ведь при сложении целых чисел не может получиться дробь! Но откуда этот факт известен эмпиристу? Только из той самой арифметики, которую он пытается обосновать опытными средствами. Получается порочный круг, когда доказываемое уже предполагается в посылках.

Логика или интуиция?

Как уже было сказано, платонизм является «тайной» философией работающего математика, который должен быть уверен в реальности открываемых им сущностей. Действительно, удивительная красота и загадочность математических структур убеждают нас в том, что за пределами наших чувств существует реальность, доступная лишь интеллекту. Знаменитый математик и физик Роджер Пенроуз , убежденный платонист, говорит, что трудно избежать веры в эту реальность, рассматривая диаграммы множеств Мандельброта.

Но если существует внечувственная реальность, то каким же образом мы, обладающие скромными пятью чувствами, можем знать об этом мире? Это действительно трудный вопрос для платониста. На него давались различные ответы. Бернард Шоу как-то сказал, что мысль автора становится яснее, когда она доводится до крайности. Таким взглядом представляется точка зрения одного из величайших логиков в истории мысли Курта Гёделя . Он считал, что интуиция математика, постигающего идеальные структуры и объекты, аналогична чувственным восприятиям человека, познающего предметы материального мира. В этом смысле математическая интуиция выступает в качестве мистического инструмента познания. С другой стороны, трудно отрицать, что именно интуиция играет огромную роль в познании, и наша рациональная мысль, если прибегнуть к каламбуру, немыслима без интуиции.

Однако мистические прозрения могут дать нам истину, а могут и вводить в заблуждение. Уильям Джемс , знаменитый американский философ и психолог, приводит пример, как человек под действием веселящего газа — закиси азота — впадал в транс, в котором ему казалось, что он знает тайну мира, но, приходя в сознание, он забывал ее. Однажды ценой огромных усилий он в состоянии транса записал на бумаге эту тайну. Каково же было его удивление, когда по выходу из транса он увидел запись: «Повсюду пахнет нефтью».