Журнал «Вокруг Света» №09 за 2008 год

Цифры этого бесконечного разложения получают по определенным алгоритмам, которые задают процесс конструирования числа, шаг за шагом все ближе подходя к «истинному» значению . При этом одни подходы дают удовлетворительные приближения быстрее других, и в этом состоит цель поиска новых алгоритмов. Конечно, ни один метод не даст нам все знаки числа , поскольку не в наших силах отобразить на бумаге или в памяти компьютера их бесконечную последовательность. Поэтому на практике мы располагаем лишь конечными (пусть и весьма длинными) фрагментами записи числа и алгоритмами для вычисления еще неизвестных его знаков. Но алгоритмы есть продукт человеческой изобретательности и сильно различаются между собой. Кто знает, не дадут ли они разные результаты при вычислении, скажем, стотриллионного или еще более далекого знака числа ? А раз так, то нет оснований говорить о том, что число существует само по себе вне и независимо от человеческого разума.

Различные вариации этой точки зрения известны в философии математики под названиями конструктивизм и интуиционизм. Первый термин отражает установку, согласно которой признается существование лишь тех математических объектов, которые хотя бы теоретически можно сконструировать за конечное время. Второй апеллирует к понятию математической интуиции, которой, как предполагается, доступны лишь конечные объекты, а потому бесконечные сущности вроде полной последовательности знаков числа , даже если и существуют в каком-то смысле, не могут быть предметом доказательных рассуждений в математике.

История уточнения числа пи

25/8 = 3,125— Вавилония, начало XIX в. до н. э.

256/81 [?] 3,160— Египет, до 1850 г. до н. э. («Московский математический папирус»)

339/108 3,139— Индия, IX в. до н. э. («Шатапатха-брахмана»)

223/71 (3,1408)< < 22/7 (3,1428)— Архимед, Греция, 250 г. до н. э.

3,1416— Лю Хуэй, Китай (царство Вэй), 263 г.

3,1415926 < < 3,1415927— Цзу Чунчжи, Китай, ок. 480 г.

3,14159265359— Мадхава из Сангамаграма, Индия, около 1400 г.

16 знаков— Джемшид аль-Каши, Персия, 1424 г.

35 знаков— Людольф ван Цейлен, Голландия, около 1600 г. (потратил большую часть жизни)

100 знаков— Джон Мэчин, Англия, 1706 г.

200 знаков— Захариас Дазе, Германия, 1844 г. (2 месяца устного счета)

527 знаков— Уильям Шенкс, Англия, 1873 г. (15 лет вычислений)

2037 знаков— Джон фон Нейман, США, 1949 г. (ENIAC, 70 часов счета)

16 167 знаков— Франсуа Женюи, Франция, 1959 г. (IBM 704, 4,3 часа счета)

1 001 250 знаков— Джин Гийу и Мартин Буйе, Франция, 1973 г. (CDC 7600)

1 011 196 691 знаков— братья Чудновские, США, 1989 г. (IBM 3090, на базе формулы С. Рамануджана)

206 158 430 000 знаков— Ясумаса Канада, Япония, 1999 г.

1 241 100 000 000 знаков— Ясумаса Канада, Япония, 2002 г. (HITACHI SR8000/MPP, 64 процессора, 600 часов счета)

Три взгляда на одно число

Теперь мы можем представить три основные точки зрения на то, в каком смысле существует математический объект . Во-первых, это эмпирически определенное отношение длины окружности круглого предмета к его диаметру, причем геометрические термины здесь служат лишь для указания на приближенные свойства физических предметов. Хотя эта точка зрения кажется самой естественной, ее трудно защитить. Фундаментальное затруднение состоит в том, что универсальные математические истины невозможно обосновывать частными эмпирическими обстоятельствами.