Журнал «Вокруг Света» №09 за 2008 год

Где же гарантия, что интуиция не обманывает нас в отношении тех самых математических объектов, восприятие которых она, согласно Гёделю, обеспечивает? Что служит критерием верности математического знания? Универсальный ответ дается одним словом: доказательство. Так называют дедуктивную цепочку рассуждений, убеждающую в правильности сделанного утверждения. Но постижению доказательства, как познавательному процессу, присуща определенная двойственность. С одной стороны, человек смотрит на доказательство, и — раз! — происходит чудо, часто называемое «ага, понял!». Этот момент «схватывания» идеи, уяснения сути аргумента напрямую связан с интуитивным постижением чужой мысли, заключенной в символы или утверждения. С другой стороны, чтобы достичь этого «момента истины», нужна тренировка в области математического мышления. Необходимо освоить элементарную логику рассуждения и, как говорят философы, признавать нормы рационального мышления, которые и позволяют людям понимать друг друга. Какая бы интуиция и озарение ни сопутствовали открытию математиком новой истины или нового объекта, для того чтобы передать свое знание или убедить в его правильности, необходимы общий язык и общие нормы, которые реализуются в доказательствах.

Немецкий математик Давид Гильберт (1862—1943) выдвинул масштабную программу обоснования математики путем ее полной формализации на основе теории множеств (на фото слева). Голландец Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр (1881—1966) выступал с критикой этого подхода ввиду присущих наивной канторовской теории множеств антиномий, а главное — контринтуитивности рассуждений, включающих бесконечные множества. Фото: SPL/EAST NEWS

Математическая «схизма»

Хотя в разных областях человеческой деятельности нормы рационального мышления могут варьироваться, во всем этом разнообразии существует «сердцевина», олицетворяемая логикой. Аргументация убеждает, только если в ней соблюдены правила логики. Если же человек от них отступает, он оказывается вне профессионального сообщества. Безусловно, сами эти нормы изменяются по ходу времени, и это напрямую относится к представлениям о математическом доказательстве. На протяжении всей истории математики менялись требования к строгости доказательств. Интуитивно понятные доказательства теорем в XVII—XVIII веках постепенно сменились строгими формальными выкладками. При этом внутри профессионального сообщества стали нарастать разногласия относительно природы и надежности доказательств. В итоге к началу XX века в математическом сообществе возникла «схизма», противоположные лагеря которой возглавили немецкий ученый, «король математики» Давид Гильберт и голландский математик Лёйтзен Брауэр .

Спор шел о допустимости использования в доказательствах бесконечности. Брауэр и его сторонники, полагая интуицию базисом всего математического знания и исходя из невозможности интуитивного представления бесконечности, отвергли те части математики, в которых признается существование бесконечных объектов как чего-то данного, завершенного, то есть так называемой актуальной бесконечности. Ключевым моментом полемики стал вопрос, допустимо ли использовать в математических рассуждениях один из основных принципов логики — закон исключенного третьего (который гласит, что из двух отрицающих друг друга высказываний одно непременно должно быть истинным). Этот закон широко используется в классической математике, но ограничивается в интуиционистской, когда речь заходит о бесконечных объектах. Таким образом, даже логика самого строгого вида аргументации — математического доказательства — может подвергаться сомнению.

Подсказки богини Наматжири

Иногда такие сомнения находят свое интереснейшее выражение. История индийского математика Сринивасы Рамануджана (1887—1920) показывает, что природа человеческого гения чрезвычайно разнообразна, даже там, где присутствуют жесткие нормы мышления. Стараниями известного английского математика Годфри Харди способный молодой человек из Индии попал в Англию, где проявил себя в качестве одной из самых примечательных фигур в теории чисел. Его результаты были неожиданными и красивыми, но по характеру творчества он радикально отличался от других математиков. Он не знал, что такое доказательство. Его результаты были итогом чисто интуитивного прозрения и часто приходили во сне: ему диктовала их богиня Наматжири. Поразительно было как то, что большинство его формул оказывались верными, так и то, что иногда богиня ошибалась. При этом формулы были воистину красивыми и загадочными.