Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков

Книга начинается с предисловия, которое выдержано в уважительном тоне и обозначает место предлагаемой дискуссии в контексте существующей философии. Затем Буль переходит к существу дела – к математике – и для начала предлагает обсудить использование символов. Он поясняет, что речь идет о символах (он называет их «знаками»), представляющих логические утверждения, и особенно сосредоточивается на общих законах, которым они подчиняются. Он говорит, что будет обозначать класс, или набор, объектов, к которым применимо определенное общее имя, одной буквой, к примеру x. Если общее имя – «овца», то x – это класс всех овец. Класс может описываться прилагательным, к примеру «белый»; в этом случае мы получаем класс y всех белых объектов. Тогда произведение xy обозначает класс всех объектов, обладающих обоими свойствами, то есть класс всех белых овец. Поскольку этот класс не зависит от порядка, в котором называются определяющие его качества, то xy = yx. Аналогично если z – некоторый третий класс (в примере Буля x = реки, y = устья, z = судоходные), то (xy) z = x (yz). Это коммутативный (переместительный) и ассоциативный (сочетательный) законы стандартной алгебры в интерпретации, приспособленной к новому контексту.

Он отмечает один закон, который принципиально важен для всего этого дела, но не выполняется в обычной алгебре. Класс xx есть класс всех объектов, обладающих свойством, определяющим x, и свойством, определяющим x, так что он должен совпадать с x. Следовательно, xx = x. Так, класс объектов, которые суть овцы и еще раз суть овцы, – это просто класс всех овец. Этот закон можно записать также как x² = x, и он представляет собой первый пункт, в котором законы Булевой алгебры отличаются от законов мышления обычной алгебры.

Далее Буль переходит к знакам, «посредством которых мы собираем части в единое целое или делим целое на части». Положим, к примеру, что x есть класс всех мужчин, а y – класс всех женщин. Тогда класс всех взрослых людей – мужчин и женщин – обозначается x + y. Здесь опять же действует коммутативный закон, который Буль формулирует явно, и ассоциативный закон, подпадающий под обобщающее заявление о том, что «законы идентичны» с законами алгебры. Поскольку, к примеру, класс европейских мужчин или женщин – это то же самое, что класс европейских мужчин или европейских женщин, дистрибутивный закон z (x + y) = zx + zy тоже выполняется, если z – класс всех европейцев.

Вычитание может быть использовано для исключения части объектов из класса. Если x представляет мужчин, а y – азиатов, то x – y представляет всех мужчин, которые не являются азиатами, и z (x – y) = zx – zy.

Возможно, самой поразительной особенностью этих формулировок является то, что речь идет вроде бы вовсе не о логике. Речь идет о теории множеств. Вместо того чтобы манипулировать логическими утверждениями, Буль работает с соответствующими им классами, охватывающими те объекты, для которых эти утверждения верны. Математики давно распознали двойственность этих концепций: каждый класс соответствует утверждению «принадлежит к классу»; каждое утверждение соответствует «классу объектов, для которых это утверждение верно». Это соответствие переводит свойства классов в свойства связанных с ними утверждений и наоборот.

Буль вводит эту идею посредством третьего класса символов, «при помощи которых выражаются отношения и при помощи которых мы формируем высказывания». К примеру, представим звезды как x, солнца[22] как y и планеты как z. Тогда утверждение «звезды – это солнца и планеты» можно будет записать как x = y + z. Так что высказывания – это равенства между выражениями с участием классов. Несложно сделать вывод, что «звезды, которые не планеты, являются солнцами»; то есть x – z = y. «Это, – говорит нам Буль, – соответствует алгебраическому правилу транспозиции» (переноса). Аль-Хорезми узнал бы в этом правиле аль-мукабалу (см. главу 3).

Вывод из всего этого состоит в том, что алгебра классов подчиняется тем же законам, что и обычная алгебра чисел, и еще странному новому закону x² = x. В этот момент Буля осеняет очень умная мысль. Единственными числами, подчиняющимися этому закону, являются 0 = 0² и 1 = 1². Он пишет:

Тогда давайте представим себе алгебру, в которой символы x, y, z и т. п. принимают безразлично значения 0 и 1, и только их. Законы, аксиомы и процессы такой алгебры будут идентичны во всем своем объеме с законами, аксиомами и процессами алгебры логики. Одна только разница в интерпретации будет разделять их.