Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков

Открытая Булевой алгеброй область математической логики сегодня известна нам как исчисление высказываний. Она восходит к V в. до н. э., когда Евклид Мегарский (не путайте с геометром Евклидом Александрийским) основал то, что позже стало стоической школой логики. Ключевой особенностью стоической логики является использование условных рассуждений вида «если A, то B». Диофант и Филон из Мегары разошлись во мнениях по фундаментальному вопросу, который до сих пор продолжает смущать студентов-математиков. А именно: при заданных истинности или ложности A и B когда утверждение «если A, то B» истинно? Обратите внимание: речь идет не об истинности A или B самих по себе, но об истинности следования A из B. По мнению Филона, утверждение ложно, если A истинно, а B ложно, а в остальных случаях утверждение истинно. В частности, оно истинно всегда, когда A ложно. Ответ Диодора был иным: A в любом случае не может вести к ложному заключению. По существу, это сводится к «и A, и B истинны».

Сегодняшние специалисты по математической логике согласны с Филоном. Контринтуитивный случай, конечно, возникает, когда A ложно. Если B тоже ложно, то представляется разумным считать, что утверждение «если A, то B» верно. В частности, «если A, то A» кажется разумным утверждением, каким бы ни было значение истинности A. Если B истинно или его текущий статус неизвестен, может показаться неразумным его следование из ложного утверждения. К примеру, утверждение

Если 2 + 2 = 5, то Великая теорема Ферма верна

считается истинным – вне зависимости от того, верна Великая теорема Ферма на самом деле или нет. (Это не дает нам простого доказательства Великой теоремы Ферма, потому что для того, чтобы считать это доказательством, вам придется сперва доказать, что 2 + 2 = 5, что невозможно, если математика непротиворечива. Именно поэтому предложенная Филоном договоренность не приносит вреда.) Чтобы проиллюстрировать рассуждения, стоящие за этой договоренностью, рассмотрим два следующих вывода:

Если 1 = –1, то 2 = 0

[добавляем по единице с каждой стороны].

Если 1 = –1, то 1 = 1

[возводим обе стороны квадрат].

Оба высказывания логически оправданы рассуждениями, приведенными в скобках. Первое из них принимает вид

Если (ложное утверждение), то (ложное утверждение),

а второе принимает вид:

Если (ложное утверждение), то (истинное утверждение).

Таким образом, верные рассуждения, начатые с ложной посылки, могут привести как к ложному, так и к истинному утверждению.

Другой подход, позволяющий получить тот же результат, состоит в том, чтобы задать вопрос: что нужно, чтобы опровергнуть высказывание «если A, то B»? То есть доказать его ложность. К примеру, чтобы опровергнуть высказывание

Если бы у свиней были крылья, они бы летали,

мы должны продемонстрировать крылатую нелетающую свинью. Так что «если A, то B» ложно, если A истинно, а B ложно, а во всех остальных случаях оно истинно, поскольку мы не можем доказать обратного.

Это рассуждение – не доказательство. Это объяснение договоренности, которая используется в логике предикатов. В модальной логике с условными высказываниями обращаются иначе. К примеру, утверждение о крылатых свиньях считалось бы верным при условии, что крылья пригодны для полета. А вот аналогичное высказывание

Если бы у свиней были крылья, они бы играли в покер

считалось бы ложным, поскольку – даже гипотетически – обладание крыльями никак не способствует игре в покер. Напротив, последнее высказывание в логике предикатов рассматривается как истинное, поскольку крыльев у свиней нет. Покер тут вообще ни при чем. Этот пример иллюстрирует некоторые трудности, с которыми столкнулись Буль и другие первые логики, и предупреждает: не стоит считать, что сегодняшние договоренности – обязательно последнее слово науки.

Использование Булевой алгебры, или исчисления высказываний, в расчетах объясняется представлением числовых и других данных в двоичной системе, то есть с использованием только двух цифр: 0 и 1. В простейших случаях это соответствует состояниям «нет электрического напряжения» и «есть электрическое напряжение» (на заданном уровне, скажем, 5 В). В сегодняшних компьютерах все данные, включая программы, кодируются в двоичной системе. Эти данные обрабатываются электронными схемами, которые, помимо прочего, производят операции исчисления высказываний – по существу, Булевой алгебры. Каждая такая операция соответствует своеобразному «вентилю», и когда электрический сигнал или сигналы проходят через этот вентиль, то выходной сигнал, определяемый входным или входными сигналами, зависит от «зашитой» в этом вентиле логической операции.