Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков

Риману нравился подход Дирихле к математике, очень напоминавший его собственный. Вместо систематического логического развития оба предпочитали начинать с интуитивного понимания проблемы в целом; затем разбирались в центральных концепциях и взаимоотношениях и лишь затем заполняли логические пробелы. Тот и другой всеми силами старались избежать объемных вычислений. Многие самые успешные математики сегодняшнего дня поступают так же. Доказательства жизненно важны для математики, и логика их должна быть безупречной, но доказательства часто приходят после общего понимания. Слишком строгий подход или слишком ранние попытки доказательства могут задушить хорошую идею. Риман практиковал такой подход на протяжении всей своей научной карьеры. У этого метода было одно большое преимущество: общую линию рассуждений в нем можно проследить, не тратя многие недели на проверку сложных расчетов. Его недостатком, по крайней мере с точки зрения некоторых, является необходимость мыслить концептуально, а не просто пробиваться через череду расчетов.

Для получения степени доктора философии Риман переписал книгу по комплексному анализу с введением в нее топологических методов. Сделал он это из-за особенности, с которой приходится сражаться каждому студенту: склонность комплексных функций к неоднозначности. В действительном анализе тоже есть намеки на это явление. К примеру, каждое ненулевое положительное действительное число имеет два квадратных корня: один положительный, другой отрицательный. Эту возможность следует иметь в виду при решении алгебраических уравнений, но справиться с этим несложно – достаточно разбить функцию с квадратным корнем на две отдельные части: с положительным квадратным корнем и с отрицательным квадратным корнем.

Та же неоднозначность свойственна и квадратному корню комплексного числа, но здесь уже недостаточно разделить его на две отдельные функции. Понятия «положительный» и «отрицательный» не имеют ясного – и полезного – значения в случае комплексных чисел, так что естественного способа разделить две эти величины просто не существует. Но есть и более глубокий момент. В случае действительных чисел, если мы будем изменять положительное число непрерывно, то его положительный квадратный корень тоже будет меняться непрерывно, как и его отрицательный квадратный корень. Более того, два этих корня всегда будут различны. Но в комплексном случае непрерывное изменение исходного числа может превратить один из его квадратных корней в другой, не прекращая при этом непрерывно их сдвигать.

Традиционный способ разобраться с этим состоял в том, чтобы разрешить функции с разрывами, но тогда вам придется все время проверять, не приближаетесь ли вы к разрыву. У Римана была идея получше: модифицировать обычную комплексную плоскость так, чтобы сделать квадратный корень однозначной функцией. Делается это таким образом: две одинаковые плоскости помещаются одна над другой и прорезаются вдоль положительной части действительной оси; затем обе щели соединяются так, чтобы верхняя плоскость переходила в нижнюю при пересечении прорези. Теперь, если интерпретировать квадратный корень с использованием этой «Римановой поверхности», он станет однозначным. Это радикальный подход. Идея в том, чтобы прекратить беспокоиться насчет того, с каким из множества возможных значений вы в данный момент имеете дело, и позволить геометрии Римановой поверхности обо всем позаботиться. И это новшество не было единственным в докторской диссертации Римана. Еще он предложил использовать для доказательства существования определенных функций идею из математической физики – принцип Дирихле. Этот принцип гласит, что функция, минимизирующая энергию, представляет собой решение уравнения в частных производных – уравнения Пуассона, – которому подчиняются гравитационные и электрические поля. Гаусс и Коши уже открыли на тот момент, что это самое уравнение возникает естественным образом в комплексном анализе в связи с дифференциальным исчислением.

* * *