Значимые фигуры

Сколько у Солнца быков, чужестранец, коль точно ты скажешь,
Нам раздельно назвав тучных быков число,
Также раздельно коров, сколько каждого цвета их было,
Не назовет хоть никто в числах невеждой тебя,
Все ж к мудрецам причислен не будешь. Учти же, пожалуй,
Свойства какие еще Солнца быков числа.
число белых быков + число черных быков = квадратное число,
число пестрых быков + число рыжих быков = треугольное число.
Если ты найдешь, чужестранец, умом пораскинув,
И сможешь точно назвать каждого стада число,
То уходи, возгордившись победой, и будет считаться,
Что в этой мудрости ты все до конца превзошел[6].

Квадратные числа – это 1, 4, 9, 16 и т. д., получаются они при умножении натурального числа на само себя. Треугольные числа – это 1, 3, 6, 10 и т. д., образуемые сложением последовательных натуральных чисел, к примеру, 10 = 1 + 2 + 3 + 4. Эти условия образуют то, что мы сегодня называем системой диофантовых уравнений в честь Диофанта Александрийского, который написал о них около 250 г. в книге «Арифметика». Решение должно даваться в целых числах, поскольку вряд ли у бога Солнца в стаде ходит половинка коровы.

Первый набор условий дает бесконечное число возможных решений, в наименьшем из которых божественное стадо насчитывает 7 460 514 черных быков и сравнимое число остальных животных. Дополнительные условия позволяют выбрать среди этих решений и ведут к тому типу диофантовых уравнений, которые известны как уравнения Пелля (глава 6). Здесь нужно найти целые x и y, такие что nx² + 1 = y², где n – заданное целое число. К примеру, при n = 2 уравнение принимает вид 2x² + 1 = y², а его решениями являются пары чисел x = 2, y = 3 и x = 12, y = 17. В 1965 г. Хью Уильямс, Р. Герман и Чарльз Зарнке при помощи двух компьютеров фирмы IBM нашли наименьшее решение, удовлетворяющее двум дополнительным условиям. Это решение приблизительно равно 7, 76 × 10²⁰⁶⁵⁴⁴.

Архимед никак не мог найти это число вручную, к тому же нет никаких свидетельств того, что он вообще имеет какое-то отношение к этой задаче, кроме того что его имя фигурирует в названии стихотворения. Задача о быках до сих пор привлекает внимание специалистов по теории чисел и способствует получению новых результатов, к примеру решая уравнения Пелля.

* * *

Исторических данных о жизни Архимеда почти нет, однако о его смерти мы знаем чуть больше – если, конечно, считать, что хотя бы одна из дошедших до нас легенд соответствует истине. Но можно с уверенностью предположить, что хотя бы зерно правды в них присутствует.

Во время Второй Пунической войны, около 212 г. до н. э., римский генерал Марк Клавдий Марцелл осадил Сиракузы и взял город после двух лет осады. Плутарх рассказывает, что во время взятия города пожилой Архимед рассматривал какой-то чертеж на песке. Генерал послал солдата, чтобы тот пригласил Архимеда на встречу с ним, но математик отказался пойти, сказав, что не закончил работу над задачей. Солдат вышел из себя и убил Архимеда мечом; рассказывают, что последними словами мудреца были: «Не тронь моих чертежей!» Зная математиков, я полагаю, что такая ситуация вполне возможна, но Плутарх приводит и другой вариант истории, в которой Архимед пытается сдаться случайному солдату, а тот, решив, что математические инструменты в руках ученого стоят дорого, убивает его, чтобы ими завладеть. В обоих вариантах легенды Марцелл был очень недоволен смертью столь уважаемого гения механики.

Гробница Архимеда была украшена изображением его любимой теоремы из книги «О шаре и цилиндре»: объем шара, вписанного в цилиндр, равен 2/3 от его объема, а площадь поверхности шара равна площади боковой поверхности этого цилиндра. Через 100 с лишним лет после смерти Архимеда квестором (должностным лицом) на Сицилии был известный римский оратор Цицерон. Услышав о гробнице, он с трудом отыскал ее в заброшенном состоянии возле Агригентинских ворот в Сиракузах. Цицерон приказал восстановить гробницу, что позволило ему прочесть некоторые надписи и разглядеть чертеж шара и цилиндра.

Сегодня расположение этой гробницы неизвестно; судя по всему, от нее ничего не осталось. Но Архимед продолжает жить в своей математике, значительная часть которой не потеряла значения за более чем 2000 прошедших лет.

2. Мастер пути Лю Хуэй

^{Лю Хуэй}

^{Жил и работал: царство Цао Вэй, Китай, III в.}