Значимые фигуры

Математическая репутация Архимеда зиждется на книгах, которые уцелели и дошли до нас – все в более поздних копиях. «Квадратура параболы», написанная в форме письма к другу Архимеда Досифею, содержит 24 теоремы о параболах, последняя из которых дает площадь параболического сегмента, выраженную через площадь связанного с ним треугольника. Парабола вообще занимает видное место в трудах Архимеда. Это один из типов конических сечений – семейства кривых, игравшего значительную роль в греческой геометрии. Чтобы получить коническое сечение, нужно разрезать плоскостью двойной конус, образованный при соединении вершинами двух одинаковых конусов. Существует три основных типа конических сечений: эллипс – замкнутый овал, парабола – U-образная кривая и гипербола – две U-образные кривые, расположенные «спина к спине».

^{Три основных типа конических сечений}

Работа «О равновесии плоских фигур» состоит из двух отдельных книг. В ней устанавливаются фундаментальные закономерности того, что мы сегодня называем статикой, – той области механики, где анализируются условия, при которых тело остается в покое. Дальнейшее развитие этой темы образует фундамент всего строительного искусства и дает возможность рассчитать силы, действующие на структурные элементы зданий и мостов, и гарантировать, что они действительно сохранят покой и не будут ни вспучиваться, ни рушиться.

Первая книга посвящена в основном закону рычага, который Архимед формулирует так: «Два груза находятся в равновесии на расстояниях, обратно пропорциональных их весам». Одно из следствий этого состоит в том, что длинный рычаг увеличивает малую силу. Плутарх сообщает нам, что Архимед драматически усилил это утверждение в письме к царю Гиерону: «Дайте мне точку опоры, и я переверну Землю». Конечно, для этого ему потребовался бы невероятно длинный и идеально жесткий рычаг, но главный недостаток рычага состоит в том, что, хотя приложенная сила увеличивается, дальний конец рычага проходит куда меньшее расстояние, чем место приложения силы. На самом деле Архимед мог бы сдвинуть Землю на то же (крохотное-крохотное) расстояние, просто подпрыгнув на месте. Тем не менее рычаг очень эффективен, как и другое устройство (вариант рычага), также известное Архимеду, – полиспаст. Когда скептически настроенный Гиерон попросил Архимеда продемонстрировать свое изобретение, тот

…велел наполнить обычной кладью царское трехмачтовое грузовое судно, недавно с огромным трудом вытащенное на берег целою толпою людей, посадил на него большую команду матросов, а сам сел поодаль и, без всякого напряжения вытягивая конец каната, пропущенного через составной блок, придвинул к себе корабль – так медленно и ровно, точно тот плыл по морю[1].

Вторая книга посвящена в основном нахождению центра тяжести различных геометрических фигур – треугольника, параллелограмма, трапеции и сегмента параболы.

Книга «О сфере и цилиндре» содержит результаты, которыми Архимед настолько гордился, что даже велел начертать их на своей гробнице. Он доказал вполне строго, что площадь поверхности сферы в четыре раза больше площади любого ее большого круга (такого, как экватор сферической Земли); что объем шара составляет две трети объема цилиндра, описанного вокруг этого шара; и что площадь любого сегмента шара, отрезанного от него плоскостью, равна площади соответствующего сегмента такого цилиндра. В своем доказательстве он использовал витиеватый метод, известный как метод исчерпывания, который первым предложил Евдокс при работе с пропорциями с участием иррациональных чисел, которые невозможно точно представить в виде дроби. В современных терминах можно сказать, что Архимед доказал: площадь поверхности сферы радиуса r равна 4πr², а заключенный в ней объем равен 4/3πr³.