Значимые фигуры

Все это не слишком похоже на книгу по алгебре. И правда, непосредственно алгебра занимает в ней лишь небольшую часть. Аль-Хорезми начинает с объяснения чисел в очень простых выражениях – единицы, десятки, сотни – на том основании, что «когда я думаю о том, в чем люди обычно нуждаются при расчетах, я понимаю, что это всегда число». Вообще, это не ученый трактат для мужей науки, но популярная математическая книга, практически учебник, который пытается не только информировать, но и обучать обычных читателей. Именно этого хотел халиф, и именно это он получил. Аль-Хорезми не рассматривал свою книгу как результат работы на переднем крае исследовательской математики. Но мы сегодня именно так смотрим на ту ее часть, которая посвящена аль-джебре. Это самый глубокий раздел книги: систематическое развитие методов решения уравнений с некоторой неизвестной величиной.

Собственно термин «аль-джебр», который обычно переводят как «дополнение», относится к приему добавления одного и того же слагаемого к обеим частям уравнения с целью его упрощения. «Аль-мукабала», или «уравновешивание», относится к переносу одного из слагаемых с одной стороны уравнения на другую сторону (но с противоположным знаком) и к сокращению подобных членов в обеих частях уравнения.

К примеру, если уравнение в современной символьной записи выглядит как

x – 3 = 7,

то аль-джебра разрешает нам добавить по 3 к обеим сторонам уравнения и получить

x = 10,

что в данном случае решает уравнение. Если уравнение выглядит как

2x² + x + 6 = x² + 18,

то аль-мукабала позволяет нам перенести 6 с левой стороны уравнения на правую, только со знаком минус, и получить

2x² + x = x² + 12.

Вторая аль-мукабала позволяет нам перенести x² из правой части уравнения в левую и вычесть уже его, получив

x² + x = 12,

что проще, но еще не дает решение уравнения.

Я повторю, что аль-Хорезми не использует никаких символов. Отец алгебры на самом деле не делал ничего из того, что сегодня большинство из нас считает алгеброй. Он все описывал словами. Конкретные числа были единицами, неизвестная величина, которую мы называем x, называлась у него корнем, а наш x² назывался квадратом. Приведенное уравнение в этих терминах выглядело бы так:

квадрат плюс корень равно двенадцать единиц,

и без всяких символов. Так что следующая задача – объяснить, как от уравнения подобного типа перейти к ответу. Аль-Хорезми подразделяет уравнения на шесть типов, причем типичный случай представляет собой «квадраты и корни равняются числам», то есть что-то вроде x² + x = 12.

^{Геометрическое решение уравнений «квадраты и корни равняются числам»}

Затем он переходит к анализу каждого типа уравнений по очереди, причем решает их с использованием смеси алгебраических и геометрических методов. Так, чтобы решить уравнение x² + x = 12, аль-Хорезми рисует квадрат, который должен представлять x² (левый рисунок). Чтобы прибавить к этому корень x, он пририсовывает к квадрату четыре прямоугольника, каждый со сторонами x и 1/4 (средний рисунок). Получившаяся фигура наводит на мысль «завершить квадрат», присоединив сюда же четыре «уголка» – маленькие квадратики со стороной 1/4 и площадью 1/16. Так что он добавляет 4 × 1/16 = 1/4 к левой части уравнения (правый рисунок). По правилу аль-джебр он должен также прибавить 1/4 и к правой части уравнения то, в результате чего справа становится 12 1/4. Теперь

(x + 1/2)² = 12 1/4 = 49/4 = (7/2)².

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения и получим

x + 1/2 = 7/2,

так что x = 3. Сегодня мы взяли бы еще отрицательный квадратный корень, -7/2, и получили второе решение, x = –4. Отрицательные числа уже начинали появляться в трудах ученых периода аль-Хорезми, но сам он их не упоминает.

Такой подход был бы понятен и вавилонянам, и грекам, поскольку они и сами в свое время занимались примерно тем же. На самом деле существуют сомнения относительно того, был ли аль-Хорезми знаком с «Началами» Евклида. По идее, должен был быть знаком, поскольку аль-Хаджжадж – другой ученый из «Дома мудрости» – перевел Евклида на арабский, когда аль-Хорезми был молодым человеком. Но с другой стороны, основной задачей «Дома мудрости» был именно перевод, и его работники не были обязаны читать труды, переведенные их коллегами. Некоторые историки утверждают, что геометрия аль-Хорезми по стилю не соответствует Евклидовой, и это свидетельствует о том, что ученый не был знаком с оригиналом. Но, я повторяю, «Алгебра» – популярная книга о математике, так что она и не должна была бы следовать аксиоматическому стилю Евклида, даже если бы сам аль-Хорезми знал Евклида назубок. Во всяком случае идея достраивания квадрата восходит еще к вавилонянам и позаимствовать ее можно было из множества разных источников.