Значимые фигуры

Почему же тогда многие историки считают именно аль-Хорезми отцом алгебры? Особенно с учетом того, что он не использует никаких символов? И у него имеется сильный конкурент, грек Диофант. В его «Арифметике» – серии книг о решении уравнений в натуральных или рациональных числах, написанной около 250 г., – символы используются. Один из ответов состоит в том, что главной областью интересов Диофанта была теория чисел да и символы его были, по существу, простыми сокращениями. Однако более глубокий ответ, который мне кажется и более убедительным, заключается в том, что аль-Хорезми часто, хотя и не всегда, приводит универсальные методы решения, тогда как его предшественники, как правило, брали пример с конкретными числами и решали его. Читателю оставалось самому выводить общее правило. Так что результат приведенного выше геометрического решения мог бы выглядеть примерно так: «Возьмите 1, поделите на 2, получится 1/2. возведите ее в квадрат, получится 1/4, затем добавьте по 1/4 к каждой стороне», – и читатель должен будет сам догадаться, что общее правило состоит в том, чтобы заменить первоначальную 1 половинкой коэффициента при x, возвести результат в квадрат, прибавить результат к обеим сторонам уравнения и т. д. Конечно, при обучении преподаватель разъяснил бы решение на таком уровне обобщения и закрепил результат, заставив ученика прорешать множество других примеров.

Иногда аль-Хорезми, кажется, делает ровно то же самое, но, как правило, он подробнее описывает применяемые правила. Так что более глубокая причина того, что именно ему приписывают изобретение алгебры, состоит в том, что он сосредоточился на общих правилах манипулирования алгебраическими выражениями, нежели на конкретных числах, которые они представляют. К примеру, он дает правила раскрытия скобок при их перемножении

(a + bx) (c + dx)

в терминах квадрата x², корня x и чисел. Мы бы записали это правило символически как

ac + (ad + bc) x + (bd) x²,

и именно это он говорит, словесно, без использования конкретных чисел для a, b, c или d. Он рассказывает читателям, как нужно манипулировать общими выражениями в числах, корнях и квадратах. Эти выражения рассматриваются не как зашифрованные версии какого-то неизвестного числа, но как новый тип математического объекта, выражения с которым можно просчитывать, даже если реальные числа вам неизвестны. Именно этот шаг к абстракции – если мы примем его как таковой – лежит в основе утверждения о том, что аль-Хорезми изобрел алгебру. В «Арифметике» ничего подобного нет.

Другие темы в его книге более прозаичны: там можно найти правила вычисления площадей и объемов таких фигур, как прямоугольник, круг, цилиндр, конус и шар. Здесь аль-Хорезми следует тем же путем, каким двигались математики в индийских и еврейских текстах, и ничего похожего на Архимеда или Евклида вы там не найдете. Заканчивается книга более приземленными вещами: подробным разбором исламских правил наследования имущества, требующих разделения его в разных пропорциях; ничего более сложного с математической точки зрения, чем решение линейных уравнений и арифметика, в этом разделе не встречается.

* * *

Важнейшим трудом аль-Хорезми как на момент написания, так и на протяжении еще нескольких столетий была «Книга об индийском счете», давшая нам, как уже отмечалось, слово «алгоритм». Фраза Dixit Algorismi – «Так говорил аль-Хорезми» – была весьма убедительным аргументом в любом математическом диспуте. Учитель сказал: внимайте его словам.

Под индийским счетом подразумеваются, безусловно, ранние варианты десятичной системы записи чисел, в которой любое число может быть записано как последовательность десяти символов – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Как видно из названия книги, аль-Хорезми признавал первенство индийских математиков в этом вопросе, но его влияние в средневековой Европе было настолько велико, что такую систему исчисления стали называть арабской (иногда ее называли еще индо-арабской системой, что тоже несправедливо по отношению к индусам). Основной вклад арабского мира в эту систему – изобретение собственных символов для обозначения цифр, похожих на индийские, но все же отличных от них, а также распространение этой системы записи и побуждение к ее использованию. Символы же для обозначения десяти цифр не раз менялись с течением времени, и разные регионы современного мира до сих пор пользуются разными их вариантами.