Знание-сила, 2008 № 11 (977)

Еще раз удивимся гению Галилея, ведь «Метод идеализации уводит нас от реальности, но, как ни парадоксально, именно этот шаг позволяет нам приблизиться к реальности в большей степени, чем учет всех имеющихся факторов» (М. Клайн). Однако метод идеализации далеко не всемогущ. Перечитаем Галилея: «...применять с теми ограничениями, какие подсказывает нам опыт», «отбросить. сопротивление воздуха, трение и т.д.» А если мы как раз хотим учесть эти факторы? Ведь неучет сопротивления воздуха не позволит нам, скажем, метко стрелять из пушек и, значит, эффективно решать основную задачу человечества — уничтожение себе подобных. Умные головы заработали, и появился метод возмущений. Дадим слово еще одному гению, П.С.Лапласу: «Самый простой способ анализа различных возмущений (в движении планет. — И.А.) заключается в том, чтобы вообразить себе планету, движущуюся по эллипсу, элементы которого плавно изменяются, и одновременно представить себе, что настоящая планета колеблется вокруг этой воображаемой линии по очень малой траектории, свойства которой зависят от ее периодических возмущений».

Далее стало понятно, что процесс уточнения можно продолжать. Появился термин «асимптотика». Вспомним, что в школьном курсе математики мы встречались с «асимптотами» — прямыми, бесконечно близко приближающимися к некоторым кривым, когда независимая переменная х стремится к бесконечности, но не совпадающими с этими кривыми. Иными словами, начиная с некоторых значений х кривые можно заменить асимптотами, и такое приближение будет тем точнее, чем больше х. Аналогично асимптотические формулы описывают данное явление тем точнее, чем меньше (или больше) становятся некоторые параметры. При этом метод идеализации дает решение в предельных случаях, когда эти параметры в точности равны нулю (или бесконечности). Поиск и использование подобных параметров и составляют одну из главных задач науки.

Один из отцов асимптотической математики, А.Пуанкаре, писал: «Ученые искали их в двух крайних областях: в области бесконечно большого и в области бесконечно малого. Их нашел астроном, ибо расстояния между светилами громадны, настолько громадны, что каждое из светил представляется только точкой; настолько громадны, что качественные различия сглаживаются, ибо точка проще, чем тело, которое имеет форму и качество. Напротив, физик искал элементарное явление, мысленно разделяя тело на бесконечно малые кубики, ибо условия задачи, которые испытывают медленные непрерывные изменения, когда мы переходим от одной точки тела к другой, могут рассматриваться как постоянные в пределах каждого из этих кубиков».

Развитие асимптотической математики привело к пониманию того, что «асимптотическое описание является не только удобным инструментом математического анализа природы, оно имеет фундаментальное значение» (К.Фридрихс). В итоге М.Крускал предложил говорить о новой науке — асимптотологии. Дать определение асимптотологии, очертить ее рамки и пределы применимости (как и любой науки) непросто. Универсальным, конечно, является определение: «Асимптотология есть то, что под ней понимают люди компетентные» (вспомним «Физики шутят»), но как быть людям некомпетентным? Р.Г.Баранцев предложил использовать для описания асимптотологии триаду «точность — локальность — простота». Иными словами, антагонистический конфликт «точность — простота» разрешается через «локальность» — простые асимптотические модели верны лишь в некотором диапазоне изменения параметров. Асимптотология как отдельная наука находится в процессе становления. «Другим наукам — лет по сто, история — пастью гроба, а моя асимптотология — подросток, твори, выдумывай, пробуй!» (Простите, Владимир Владимирович...)

Таким образом, в науке нужно знать, чем можно пренебречь — и как учесть влияние отброшенного! «Если бы в Природе не существовало больших или малых параметров, вся наука свелась бы к утомительному перечислению всего на свете» (L.N. Trefethen).

Однако является ли современная Наука, добившаяся столь поразительных успехов, последним словом в описании Природы? Создатель понятия «стресс» Г.Селье остро поставил проблему: «Классическое искусство, подобно фотографии, настаивало на принципе детального изображения, в то время как современное искусство стремится, абстрагируясь от деталей, оперировать символами, подчеркивая таким образом самое существенное в предмете. Оба эти принципа представлены в науке. Современная мода, несомненно, отдает предпочтение проникновению в глубь предмета, наращивая степень точности используемых инструментов. Этот метод чрезвычайно эффективен, но в безудержной погоне за деталями можно потерять из виду целое».