5a. Электричество и магнетизм

Другой интересный пример колебаний плазмы наблюдается в металлах. В них содержится плазма из положительных ионов и свободных электронов. Плотность n₀там очень высока, зна­чит, велика и w_р. Но колебания электронов все же можно обна­ружить. Ведь, согласно квантовой механике, гармонический осциллятор с собственной частотой w_робладает уровнями энер­гии, отличающимися друг от друга на величину hw_р. Значит, если, скажем, обстреливать электронами алюминиевую фольгу и очень точно измерять их энергию по ту сторону фольги, то можно ожидать, что временами электроны будут из-за колеба­ний плазмы терять как раз энергию hw_p. Так это и происходит. Впервые это явление наблюдалось экспериментально в 1936 г. Электроны с энергиями от нескольких сот до несколь­ких тысяч электронвольт, рассеиваясь от тонкой металлической фольги или проходя сквозь нее, теряли энергию порциями. Эффект оставался непонятым до 1953 г., пока Бом и Пайнс не показали, что все это можно объяснить квантовым возбужде­нием плазмы в металле.

§ 4. Коллоидные частицы в электролите

Обратимся к другому явлению, когда местоположение заря­дов определяется потенциалом, создаваемым в какой-то степени самими зарядами. Такой эффект существен для поведения коллоидов. Коллоид — это взвесь маленьких заряженных час­тичек в воде. Хотя эти частички и микроскопические, но по сравнению с атомом они все же очень велики. Если бы коллоид­ные частицы не были заряжены, они бы стремились коагулиро­вать (слиться) в большие комки; но, будучи заряженными, они отталкиваются друг от друга и остаются во взвешенном состоя­нии. Если в воде растворена еще соль, то она диссоциирует (расползается) на положительные и отрицательные ионы. (Та­кой раствор ионов называется электролитом.) Отрицательные ионы притягиваются к коллоидным частицам (будем считать, что их заряды положительны), а положительные — отталки­ваются. Нам нужно узнать, как ионы, окружающие каждую частицу коллоида, распределены в пространстве.

Чтобы мысль была яснее, рассмотрим только одномерный случай. Представим себе коллоидную частицу в виде очень боль­шого (по сравнению с атомом!) шара; тогда мы можем малую часть ее поверхности считать плоскостью. (Вообще, пытаясь понять новое явление, лучше разобраться в нем на чрезвычайно упрощенной модели; и только потом, поняв суть проблемы, стоит браться за более точные расчеты.)

Предположим, что распределение ионов создает плотность за­рядов р(х) и электрический потенциал j, связанные электро­статическим законом С²j =-r/e₀, или в одномерном случае законом

(7.28)

Как бы распределились ионы в таком поле, если бы потен­циал подчинялся этому уравнению? Узнать это можно при помощи принципов статистической механики. Вопрос в том, как определить j, чтобы вытекающая из статистической меха­ники плотность заряда тоже удовлетворяла бы условию (7.28)?

Согласно статистической механике (см. вып. 4, гл. 40), час­тицы, пребывая в тепловом равновесии в поле сил, распределя­ются так, что плотность n частиц с координатой x дается фор­мулой

(7.29)

где U(x) — потенциальная энергия, k — постоянная Больцмана, а Т — абсолютная температура.

Предположим, что у всех ионов один и тот же электрический заряд, положительный или отрицательный. На расстоянии х от поверхности коллоидной частицы положительный ион будет обладать потенциальной энергией

Плотность положительных ионов тогда равна

а плотность отрицательных

Суммарная плотность заряда

или

(7.30)

Подставляя в (7.28), увидим, что потенциал j должен удов­летворять уравнению

(7.31)

Это уравнение решается в общем виде [помножьте обе его части на 2(dj/dx)и проинтегрируйте по х],но, продолжая упрощать задачу, мы ограничимся здесь только предельным случаем малых потенциалов или высоких температур Т. Малость j отвечает разбавленному раствору. Показатель экспоненты тогда мал, и можно взять

(7.32)

Уравнение (7.31) дает

(7.33)

Заметьте, что теперь в правой части стоит знак плюс (ре­шение не колебательное, а экспоненциальное).

Фиг. 7.7. Изменение по­тенциала у поверхности коллоидной частицы. D — дебаевская длина.

Общее решение (7.33) имеет вид

(7.34)

где

(7.35)

Постоянные А и В определяются из добавочных условий. В на­шем случае В должно быть нулем, иначе потенциал для боль­ших х обратится в бесконечность. Итак,

(7.36)

где А — потенциал при x=0 на поверхности коллоидной час­тицы.

Потенциал убывает в e раз при удалении на D (фиг. 7.7). Число D называется дебаевской длиной; это мера толщины ион­ной оболочки, окружающей в электролите каждую большую за­ряженную частицу. Уравнение (7.36) утверждает, что оболочка становится тоньше по мере увеличения концентрации ионов (n₀) или уменьшения температуры.

Постоянную А в (7.36) легко получить, если известен поверх­ностный заряд а на поверхности заряженной частицы. Мы знаем, что

(7.37)

Но Е это также градиент j

(7.38)

откуда получается

(7.39)