5a. Электричество и магнетизм

Мы рассмотрели обходный путь решения таких задач, при котором сначала отыскивают эквипотенциальные поверхности некоторого заданного распределения зарядов и потом одну из них заменяют проводящей поверх­ностью. Таким манером можно составить ката­лог частных решений для проводников любой формы, плоской, сферической и т. п. Использование изображений, описанное в гл. 6, является примером косвенного способа решения. Другой такой способ мы опишем в этой главе.

Если наша задача не относится к тем, для которых годен об­ходный путь, приходится решать ее в лоб. Математической ос­новой такого способа решения задач является решение урав­нения Лапласа

(7.1)

при условии, что потенциал j на некоторой границе (поверхно­стях проводников) равен условленной константе. Задачи, свя­занные с решением дифференциального уравнения поля, удовлетворяющего некоторым граничным условиям, называются задачами о граничных значениях. Они явились предметом интен­сивного математического изучения. Для сложных проводников общих аналитических методов решения нет. Даже такая про­стая задача, как поле заряженного металлического цилиндра с запаянными торцами — консервной банки, представляет огромные математические трудности. Ее можно решить лишь приближенно, численным методом. Единственный общий метод решения — численный.

Имеется несколько задач, в которых уравнение (7.1) все же решается. К примеру, задача о заряженном проводнике, имею­щем форму эллипсоида вращения, может быть решена с по­мощью некоторых специальных функций. Решение для тонкого диска тогда можно получить, бесконечно сплющив эллипсоид. А бесконечно вытянув тот же эллипсоид, получим поле заряжен­ной иглы. Но надо подчеркнуть, что единственный прямой спо­соб, применимый всюду и всегда, это путь численных расчетов.

Задачу о граничных значениях можно также решать на ее физическом аналоге. Уравнение Лапласа возникает во многих физических ситуациях: при изучении установившегося потока тепла, безвихревого течения жидкости, отклонений упругой мембраны. Часто можно соорудить физическую модель, являю­щуюся аналогом решаемой нами электрической задачи. Изме­рив в модели величину, аналогичную интересующей нас, можно узнать решение задачи. Примером аналоговой техники являет­ся применение электролитической ванны для решения двумер­ных задач электростатики. Решение удается потому, что дифференциальное уравнение для потенциала в однородной проводя­щей среде такое же, как и в вакууме.

Имеется много физических задач, в которых физические поля в каком-то одном направлении не изменяются или этим измене­нием можно пренебречь по сравнению с изменениями в двух дру­гих направлениях. Такие задачи называют двумерными; поле за­висит только от двух координат. Скажем, если вдоль оси z про­тянуть длинную заряженную проволоку, то в точках неподалеку от нее электрическое поле зависит от x и y, а не от z; задача дву­мерная. Так как в двумерных задачах dj/dz=0, то уравнение для j в свободном пространстве имеет вид

(7.2)

Поскольку двумерное уравнение сравнительно простое, то су­ществует широкий класс условий, в которых оно решается ана­литически. Действительно, существует могучая математическая техника, связанная с теоремами теории функций комплексного переменного. К изложению ее мы сейчас и перейдем.

§ 2. Двумерные поля; функции комплексного переменного

Комплексная величина з определяется так:

(Не перепутайте з с координатой z; координата z не встретится в дальнейшем, потому что зависимости полей от z не будет.) Тогда каждой точке на плоскости (х, у) отвечает комплексное число з. Мы можем считать з особой (комплексной) переменной величиной и с ее помощью записывать обычные математические функции F(з). Например,

Если дана некоторая определенная функция F(з), то можно подставить з=x+iy; получится функция от х и у с действи­тельной и мнимой частями. Например,

(7.3)

Любую функцию F(з) можно записать в виде суммы чисто дей­ствительной и чисто мнимой частей, и каждая из частей будет функцией от х и у:

(7.4)

где U(x, у) и V(x, у) — действительные функции. Значит, из лю­бой комплексной функции F(з) можно произвести две новые функции U (х, у) и V(x,y). К примеру, .F(з) = з² дает две функ­ции:

(7.5)

и

(7.6)

Мы подошли сейчас к удивительной математической теореме, столь прекрасной, что доказательство ее придется отложить до соответствующего математического курса. (Если мы начнем заранее приоткрывать все тайны математики, она покажется вам потом скучной.) Теорема эта состоит вот в чем. Для любой «нормальной» функции (что это такое, математики вам объяснят лучше) функции U и V автоматически удовлетворяют соотно­шениям

(7.7)

и

(7.8)

Отсюда немедленно следует, что каждая из функций U и V удовлетворяет уравнению Лапласа:

(7.9)

(7.10)

Сразу видно, что для функций (7.5) и (7.6) эти уравнения выполняются.