8a. Квантовая механика I

Взглянув на табл. 9.1, вы видите, что это просто матрица s_x, умноженная на i. (Вспомните, что умножение матрицы на число означает умножение каждого элемента матрицы на число.) Попарные произведения сигм очень важны и выглядят они довольно забавно, так что мы их выписали в табл. 9.2. Вы сами можете подсчитать их, как мы сделали это с s²_хи s_хs_y.

С матрицами о связан еще один очень интересный и важный момент. Можно, если угодно, представить себе, что три матрицы s_х., s_yи s_z подобны трем компонентам вектора; его иногда име­нуют «вектором сигма» и обозначают а. Это на самом деле «мат­ричный вектор», или «векторная матрица». Это три разные матрицы, связанные каждая со своей осью х, у или z. С их по­мощью гамильтониан системы можно записать в красивом виде, пригодном для любой системы координат:

Таблица 9.2 · ПРОИЗВЕДЕНИЯ СПИНОВЫХ МАТРИЦ

Хотя мы записали эти три матрицы в представлении, в кото­ром понятия «вверх» и «вниз» относятся к направлению z (так что s_z выглядит особенно просто), но можно представить себе, как будут они выглядеть в любом другом представлении. И хотя это требует немалых выкладок, можно все же показать, что они изменяются как компоненты вектора. (Мы, впрочем, пока не будем заботиться о том, чтобы доказать это. Проверьте сами, если хотите.) Вы можете пользоваться о в различных системах координат, как если бы это был вектор.

Вы помните, что гамильтониан Н связан в квантовой механике с энергией. Он действительно в точности совпадает с энергией в том простом случае, когда состояний только одно. Даже в системе с двумя состояниями, какой является спин электрона, если записать гамильтониан в виде (9.13), он очень напоминает классическую формулу энергии магнита с магнитным моментом m в магнитном поле В. Классически это выглядит так:

где m — свойство объекта, а В — внешнее поле. Можно вообра­зить себе, что (9.14) обращается в (9.13), если классическую энергию заменяют гамильтонианом, а классическое m — мат­рицей (ms. Тогда после такой чисто формальной замены результат можно будет интерпретировать как матричное уравнение. Иногда утверждают, что каждой величине в классической физике соответствует в квантовой механике матрица. На самом деле правильнее было бы говорить, что матрица Гамильтона соот­ветствует энергии и что у каждой величины, которая может быть определена через энергию, есть соответствующая матрица. Например, магнитный момент можно определить через энергию, сказав, что энергия во внешнем поле В есть —m·B. Это определяет вектор магнитного момента m. Затем мы смотрим на формулу для гамильтониана реального (квантового) объекта в магнитном поле и пытаемся угадать, какие матрицы соответ­ствуют тем или иным величинам в классической формуле. С помощью этого трюка иногда у некоторых классических вели­чин появляются их квантовые двойники.

Если хотите, попробуйте разобраться в том, как, в каком смысле классический вектор равен матрице ms; может быть, вы что-нибудь и откроете. Но не надо ломать над этим голову. Право же, не стоит: на самом-то деле они не равны. Кван­товая механика — это совсем другой тип теории, другой тип представлений о мире. Иногда случается, что всплывают неко­торые соответствия, но вряд ли они представляют собой нечто большее, нежели мнемонические средства — правила для за­поминания.