8a. Квантовая механика I

Напоследок вернемся еще раз к тому примеру, о котором уже не раз говорилось. Рассмотрим такую задачу. Сперва имеет­ся электрон с определенным образом направленным спином, затем на 25 минут включается магнитное поле в направлении z, а затем выключается. Каким окажется конечное состояние? Опять представим состояние в виде линейной комбинации |y>=|1>C₁+|2>С₂, Но в нашей задаче состояния с опреде­ленной энергией являются одновременно нашими базисными состояниями |1> и |2>, Значит, С₁и С₂ меняются только по фазе. Мы знаем, что

и

Мы сказали, что вначале у спина электрона было определенное направление. Это означает, что вначале С₁и С₂были двумя числами, определяемыми формулами (8.30). Переждав Т се­кунд, новые С₁ и С₂ мы получим из прежних умножением соот­ветственно на и. Что это будут за состоя­ния? Узнать это легко, ведь это все равно, что изме­нить угол j, вычтя из него 2mB_zT/h, и не трогать угол q.

Это значит, что к концу интервала времени Т состояние |y> будет представлять электрон, выстроенный в направлении, отличаю­щемся от первоначального только поворотом вокруг оси z на угол Dj=2mB_zT/h. Раз этот угол пропорционален Т, то можно говорить, что направление спина прецессирует вокруг оси z с угловой скоростью 2mB_z/h. Этот результат мы уже полу­чали раньше несколько раз, но не так полно и строго. Теперь мы получили полное и точное квантовомеханическое описание прецессии атомных магнитов.

Любопытно, что математические идеи, которые мы только что применили к электрону, вращающемуся в магнитном поле, применимы и для любой системы с двумя состояниями. Это озна­чает, что, проведя математическую аналогию с вращающимся электроном, можно при помощи чисто геометрических рассужде­ний решить любую задачу для двухуровневой системы. Сперва вы сдвигаете энергию так, чтобы (H₁₁+H₂₂) было равно нулю (так что H₁₁=-H₂₂). И тогда любая задача о такой системе формально совпадет с задачей об электроне в магнитном поле. Вам нужно будет только отождествить —mB_zс H₁₁, а -m(В_х-iB_y) с H₁₂. И неважно, какая физика там была перво­начально — молекула ли аммиака или что другое,— вы можете перевести ее на язык соответствующей задачи об электроне. Стало быть, если мы в состоянии решить в общем случае задачу об электроне, мы уже решили все задачи о двух состояниях.

А общее решение для электронов у нас есть! Пусть вначале электрон обладает определенным состоянием, в котором спин направлен вверх по некоторому направлению, а магнитное поле В — в какую-то другую сторону. Вращайте просто направление спина вокруг оси В с векторной угловой скоростью w(t), равной некоторой константе, умноженной на вектор В (а именно w=2mВ/h). Если В меняется со временем, двигайте по-прежнему ось вращения так, чтобы она оставалась параллельной В, и изменяйте скорость вращения так, чтобы она все время была пропорциональна напряженности В (фиг. 8.11).

Фиг. 8.11. Направление спина электрона в изменяющемся магнит­ном поле В (t) прецессирует с частoтой w(t) вокруг оси, параллель­ной В.

Если все время это делать, вы остановитесь на какой-то конечной, ориентации спиновой оси, и амплитуды С₁и С₂ получатся просто как ее проекции [при помощи (8.30)] на вашу систему координат.

Вы видите, что задача эта чисто геометрическая: надо заме­тить, где закончились все ваши вращения. Хотя сразу видно, что для этого требуется, но эту геометрическую задачу (отыска­ние окончательного итога вращений с переменным вектором угловой скорости) нелегко в общем случае решить явно. Во вся­ком случае, мы в принципе видим общее решение любой задачи для двух состояний. В следующей главе мы глубже исследуем математическую технику обращения с частицами спина ¹/₂ и, следовательно, обращения с системами, обладающими двумя состояниями, в общем случае.

* Мы принимаем энергию покоя m₀c² за «нуль» энергии и считаем магнитный момент m электрона отрицательным числом, поскольку он направлен против спина.