8a. Квантовая механика I

Пример первый: пусть сначала имеется постоянное поле в направлении z. Ему соответствуют два стационарных состоя­ния с энергиями ±mB_z. Добавим небольшое поле в направлении х. Тогда уравнения получатся такими же, как в нашей старой задаче о двух состояниях. Опять, в который раз, получается знакомый уже нам переброс, и уровни энергии немного расщеп­ляются. Пусть, далее, x-компонента поля начнет меняться во времени, скажем, как coswt. Тогда уравнения станут такими, как для молекулы аммиака в колеблющемся электрическом поле (см. гл. 7). И тем же способом, что и прежде, вы можете рассчитать процесс во всех деталях. При этом вы увидите, что колеблющееся поле приводит к переходам от +z-состояния к —z-состоянию и обратно, если только горизонтальное поле колеблется с частотой, близкой к резонансной, w₀=2mB_z/h. Это приводит к квантовомеханической теории явлений магнит­ного резонанса, описанной нами в гл. 35 (вып. 7).

Можно еще сделать мазер, в котором используется система со спином ¹/₂. Прибор Штерна — Герлаха создает пучок частиц, поляризованных, скажем, в направлении +z, и они потом направляются в полость, находящуюся в постоянном магнитном поле. Колеблющиеся в полости поля, взаимодействуя с магнит­ным моментом, вызовут переходы, которые будут снабжать полость энергией.

Рассмотрим теперь второй пример. Пусть у нас имеется магнитное поле В, направление которого характеризуется полярным углом 6 и азимутальным углом j (фиг. 8.10).

Фиг. 8.10. Направление В опре­деляется полярным углом q и ази­мутальным углом j.

Допу­стим еще, что имеется электрон, спин которого направлен по полю. Чему равны амплитуды С₁и С₂для этого электрона? Иными словами, обозначая состояние электрона |y>, мы хотим написать

где C₁и С₂ равны

а |1> и |2>обозначают то же самое, что раньше обозначалось |+> и |-> (по отношению к выбранной нами оси z).

Ответ на этот вопрос также содержится в наших общих уравнениях для систем с двумя состояниями. Во-первых, мы знаем, что раз спин электрона параллелен В, то электрон нахо­дится в стационарном состоянии с энергией Е_I=-mB. Поэтому и c₁ и С₂ должны изменяться как

[см. уравнение (7.18)]; и их коэффициенты а₁и а₂ даются формулой (8.5):

Вдобавок a₁ и а₂ должны быть нормированы так, чтобы было |a|² +|а₂|²=1. Величины Н₁₁и H₁₂ мы можем взять из (8.22), используя равенства

B_z=Bcosq, В_х=Вsinqcosj, В_у=Вsinqsinj.

Тогда мы имеем

Кстати, скобка во втором уравнении есть просто, так что проще писать

Подставляя эти матричные элементы в (8.24) и сокращая на -mB, находим

Зная это отношение и зная условие нормировки, можно найти и а₁, и а₂. Сделать это нетрудно, но мы сократим путь, прибег­нув к одному трюку. Известно, что

1-cosq=2sin²(q/2) и sinq=2sin(q/2)cos(q/2). Значит, (8.27) совпадает с

Один из ответов, следовательно, таков:

Он удовлетворяет и уравнению (8.28), и условию

Вы знаете, что умножение a₁ и а₂ на произвольный фазовый мно­житель ничего не меняет. Обычно формуле (8.29) предпочитают более симметричную запись, умножая на e'f'². Принято пи­сать так:

Это и есть ответ на наш вопрос. Числа а₁и а₂ — это ампли­туды того, что электрон будет замечен спином вверх или вниз (по отношению к оси z), если известно, что его спин направлен вдоль оси (q,j). [Амплитуды C₁и С₂равны просто a₁ и a₂, умноженным на

Заметьте теперь занятную вещь. Напряженность В магнитного поля нигде в (8.30) не появляется. Тот же результат разумеется, получится в пределе, если поле В устремить к нулю Это означает, что мы дали общий ответ на вопрос, как представлять частицу, спин которой направлен вдоль произвольной оси. Амплитуды (8.30) — это проекционные амплитуды для частиц со спином ¹/₂, подобные проекционным амплитудам для частиц со спином 1, приведенным в гл. 3 [уравнения (3.38)]. Теперь мы сможем находить для фильтрованных пучков частиц со спином ¹/₂ амплитуды проникновения через тот или иной фильтр Штерна — Герлаха.

Пусть |+z> представляет состояние со спином, направлен­ным по оси z вверх, а |-z> — состояние со спином вниз. Если | +z'> представляет состояние со спином, направленным вверх по оси z', образующей с осью z углы q и j, то в обозначе­ниях гл. 3 мы имеем

Эти результаты эквивалентны тому, что мы нашли из чисто гео­метрических соображений в гл. 4 [уравнение (4.36)]. (Если вы в свое время решили пропустить гл. 4, то вот перед вами один из ее существенных результатов.)