8a. Квантовая механика I

Приведем еще один химический пример явления, связанного с двумя состояниями, но на этот раз на уровне крупных молекул. Касается это теории красителей. У многих красителей, а именно у большинства искусственных красителей, есть одна общая характеристика — они обладают своего рода симметрией. На фиг. 8.9 изображен ион одного из красителей — фуксина (он дает пурпурный цвет).

Фиг. 8.9. Пара базисных состояний для молекулы красите­ля фуксин.

В молекуле есть три кольцевые структуры, две из которых — бензольные кольца. Третья не совсем совпадает с бензольным кольцом, потому что внутри кольца в ней только две двойные связи. На рисунке показаны две в равной степени подходящие схемы, и мы догадываемся, что их энергии должны быть равны. Но имеется еще и амплитуда того, что все электроны смогут переброситься из одного состояния в другое, передвинув местоположение «незаполненного» кольца в другой конец. Когда электронов так много, то амплитуда переброса несколько ниже, чем у бензола, и различие в энергиях двух стационарных состояний не так велико. Но тем не менее все равно имеется обычная пара стационарных состояний |I> и |II>, представляющая собой сумму и разность двух базисных состояний, показанных на рисунке. Энергетический промежуток между |I>и |II> оказывается равным энергии фотона в оптической области. Если молекулу осветить, возникает очень сильное поглощение при некоторой частоте и молекула покажет­ся ярко окрашенной. Вот почему она краситель! Другая интересная черта такой молекулы красителя — в двух изображенных базисных состояниях центры электриче­ского заряда расположены в разных местах. В итоге молекула должна быть сильно подвержена действию внешнего электрического поля. Такой же эффект мы наблюдали в молекуле аммиака. Ясно, что его можно анализировать при помощи той же матема­тики, если только известны числа Е₀и А. Их. вообще говоря получают, накапливая опытные данные. Если проделать изме­рения со многими красителями, то часто можно догадаться, что произойдет с какой-то родственной молекулой красителя. Из-за сильного сдвига местоположения центра электрического заряда значение m в формуле (7.55) велико, и вещество обладает большой вероятностью поглощения света с характеристической частотой 2A/h. Значит, вещество не просто окрашено, а окрашено очень густо — малое количество вещества поглощает много света. Скорости переброса (и тем самым А) очень чувствительны ко всей структуре молекулы. Если изменить А, то изменится расщепление энергии и вместе с ним цвет красителя. Кроме того, молекулы не обязаны быть совершенно симметричными. Мы видели, что то же самое основное явление бывает и при не­больших видоизменениях—даже когда имеется небольшая асим­метрия. Небольшого изменения цвета можно добиваться вве­дением в молекулы легких асимметрий. Так, другой важный краситель, малахитовая зелень, очень похож на фуксин, только у него две из имеющихся молекул водорода замещены на СН₃. Цвет выходит другой, потому что А сдвинуто и скорость пере­броса электронов изменилась.

§ 6. Гамильтониан частицы со спином ¹/₂ в магнитном поле

Обратимся теперь еще к одной системе с двумя состоя­ниями. На этот раз нашим объектом будет частица со спином ¹/₂. Кое-что из того, что мы намерены сказать, затрагивалось уже в предыдущих главах, но повторение поможет нам немного прояснить кое-какие темные места. Покоящийся электрон мы можем считать тоже системой с двумя состояниями. Хотя в этом параграфе мы будем толковать об «электроне», но то, что мы выясним, будет справедливо по отношению ко всякой частице со спином ¹/₂.

Предположим, что в качестве наших базисных состояний |1>и |2>мы выбрали состояния, в которых z-компонента спина электрона равна либо +h/2, либо -h/2. Эти состояния, конечно, те же самые состояния (+) и (-), с которыми мы встречались в прежних главах. Чтобы согласовать эти и прежние обозначе­ния, спиновое состояние 1 у мы будем отмечать «плюсом», а спи­новое состояние | 2 у — «минусом», причем «плюс» и «минус» относятся к моменту количества движения в направлении z.

Всякое мыслимое состояние |y>электрона можно описать уравнением (8.1), задав амплитуду С₁того, что электрон нахо­дится в состоянии |1>, и амплитуду С₂ того, что он находится в состоянии 2у. Для этого нам понадобится гамильтониан нашей системы с двумя состояниями — электрона в магнитном поле. Начнем с частного случая магнитного поля в направле­нии z.

Пусть вектор В имеет только z-компоненту B_z. Из определе­ния двух базисных состояний (что их спины параллельны и анти­параллельны В) мы знаем, что они уже являются стационарными состояниями — состояниями с определенной энергией в маг­нитном поле. Состояние |1> соответствует энергии, равной — mВ_z, а состояние |2> — энергии +mB_z. В этом случае га­мильтониан должен быть очень простым, поскольку на С₁ — амплитуду оказаться в состоянии |1> С₂ не влияет и наоборот: