8a. Квантовая механика I

И вот, сказали Гелл-Манн и Пайс, здесь возникает интерес­ная ситуация. То, что люди назвали двумя разными состояниями мира (К⁰и), на самом деле следует рассматривать как одну систему с двумя состояниями, потому что имеется амплитуда перехода из одного состояния в другое. Для полноты рассужде­ний следовало бы, конечно, рассмотреть не два состояния, а больше, потому что существуют еще состояния 2 л и т. д.; но поскольку наши физики интересовались главным образом связью К⁰ с, то они не захотели усложнять положения и представили его приближенно в виде системы с двумя состоя­ниями. Другие состояния были учтены в той мере, в какой их влияние неявно скажется на амплитудах (9.44).

В соответствии с этим Гелл-Манн и Пайс анализировали нейтральную частицу как систему с двумя состояниями. Начали они с того, что выбрали состояния | К⁰> и | > за базисные состояния. (С этого места весь рассказ становится очень похо­жим на то, что было для молекулы аммиака.) Всякое состояние |y> нейтрального K-мезона можно тогда описать, задав ампли­туды того, что оно окажется в одном из базисных состояний. Обозначим эти амплитуды

Следующим шагом мы должны написать уравнение Гамиль­тона для такой системы с двумя состояниями. Если бы К⁰и не были бы связаны между собой, то уравнения выглядели бы просто

Однако есть еще амплитуда

перехода К⁰в ; поэтому в правую часть первого уравнения надо еще добавить слагаемое

Аналогичное слагаемое АС₊ надо добавить и в уравнение, опре­деляющее скорость изменения С _. Но это еще не все! Если уж мы учитываем двухпионный эффект, то надо учесть и то, что существует еще дополнительная амплитуда превращения К⁰ в самого себя по цепочке

Эта дополнительная амплитуда (обозначим ее)в точности равна амплитуде

, так как амплитуды перехода в пару p-мезонов или от пары p-мезонов в К⁰или одни и те же.

Если угодно, можно показать это и подробнее. Прежде всего напишем

Симметрия между материей и антиматерией требует, чтобы

а также

Отсюда

а также

очем мы уже говорили выше.

Итак, у нас есть две дополнительные амплитуды и

, обе равные А, которые надо вставить в урав­нения Гамильтона. Первая приводит к слагаемому АС₊в правой части уравнения для dC₊/dt, а вторая — к слагаемому АС_-в правой части уравнения для dC_-/dt. Рассуждая именно так, Гелл-Манн и Пайс пришли к заключению, что уравне­ния Гамильтона для системы должны иметь вид

Теперь надо сделать поправку к сказанному в прежних гла­вах: к тому, что две амплитуды, такие, как и , выражающие обратные друг к другу процессы, всегда комплексно сопряжены. Это было бы верно, если бы мы говорили о частицах, которые не распадаются. Но если частицы могут распадаться, а поэтому «пропадать», то амплитуды не обязательно комплексно сопряжены. Значит, равенство (9.44)

не означает, что наши амплитуды суть действительные числа. На самом деле они суть комплексные числа. Поэтому коэффи­циент А комплексный и его нельзя просто включить в энер­гию Е₀.

Часто, возясь со спинами электронов и тому подобными веща­ми, наши герои знали: такие уравнения означают, что имеется другая пара базисных состояний с особенно простым поведением, которые также пригодны для представления системы .K-частиц. Они рассуждали так: «Возьмем теперь сумму и разность этих двух уравнений. Будем отсчитывать все энергии от Е₀и возьмем для энергии и времени такие единицы, при которых h=1». (Так всегда поступают современные теоретики. Это не меняет, конеч­но, физики, но уравнения выглядят проще.) В результате они получили

откуда ясно, что комбинации амплитуд С₊+С_-и С₊-С_-действуют друг от друга независимо (и отвечают стационарным состояниям, которые мы раньше изучали). Они заключили, что удобнее было бы для K-частиц употреблять другое представле­ние, Они определили два состояния:

и сказали, что вместо того, чтобы думать о -мезонах, с равным успехом можно рассуждать на языке двух «частиц» (т. е. «состояний») К₁и К₂. (Они, конечно, соответствуют состоя­ниям, которые мы обычно называли |I> и |II>. Мы не поль­зуемся нашими старыми обозначениями, потому что хотим следовать обозначениям самих авторов, тем, которые вы встре­тите на физических семинарах.)

Но Гелл-Манн и Пайс проделывали все это не для того, чтобы давать частицам новые названия; во всем этом имеется еще некоторая весьма странная физика. Пусть C₁и С₂ суть амплитуды того, что некоторое состояние |y> окажется либо k₁-, либо K₂-мезоном:

Из уравнений (9.49)

Тогда (9.48) превращается в

Их решения имеют вид

где С₁(0) и С₂(0) — амплитуды при t=0.

Эти уравнения говорят, что если нейтральный K-мезон при t=0 находится в состоянии |К₁> [так что С₁(0)=1 и

С₂(0)=0], то амплитуды в момент t таковы:

Вспоминая, что А — комплексное число, удобно положить

(так как мнимая часть 2А оказывается отрицательной, мы пишем ее как минус ib). После такой подстановки С₁(t) принимает вид