9. Квантовая механика II

Многие предпочитают язык бесконечно малых сдвигов по времени или бесконечно малых перемещений в пространстве или пово­ротов на бесконечно малые углы. Поскольку всякое конечное смещение или угол можно постепенно накопить последователь­ными бесконечно малыми смещениями или поворотами, то часто легче проанализировать сначала этот бесконечно малый случай. Оператор бесконечно малого сдвига Dt во времени есть (по определению гл. 6, вып. 8)

Тогда Н аналогично классической величине, которую мы име­нуем энергией, потому что если Н^|y> оказывается равным

постоянной, умноженной на |y>, а именно если Н^|y>=E|y>,

то эта постоянная есть энергия системы.

То же самое проделывается и с другими операциями. Если мы делаем легкое смещение по х, скажем на Dx, то состояние

|y>, вообще говоря, перейдет в некоторое новое состояние

|y'>. Мы можем написать

потому что, когда Dx стремится к нулю, |y'> обязано обратиться опять в |y>, или, что то же самое, D^_x(0)=1, а для малых Dx отклонение D^_x(Dx) от единицы должно быть пропорционально Dx. Оператор р_х, определенный таким путем, называется оператором импульса (естественно, для x-компоненты).

По тем же причинам для малых поворотов обычно пишут

и называют J^_z оператором z-компоненты момента количества движения. Для тех особых состояний, для которых R^_z(j)|y₀>=е^imj |y₀>, можно для каждого малого угла, скажем Dj, разложить правую часть до членов первого порядка по Dj и получить

Сравнивая это с определением J^_zпо формуле (15.28), приходим к

Иначе говоря, если вы действуете оператором J^_zна состояние с определенным моментом количества движения вокруг оси z, то получаете mh, умноженное на это состояние, где mh—коли­чество z-компоненты момента количества движения. Все совер­шенно аналогично тому, как действие Н^ на состояние с опреде­ленной энергией дает Е|y>.

Теперь хотелось бы перейти к некоторым приложениям идеи о сохранении момента количества движения, чтобы показать вам ее в действии. Дело в том, что в действительности все это очень просто. О том, что момент количества движения сохраняется, вы знали и раньше. Единственное, что вам нужно запомнить из этой главы, это что если у состояния |y₀> есть такое свойство, что при повороте на угол j вокруг оси z оно превращается в е^imj|y₀>, то z-компонента момента количества движения равна mh. Этих знаний достаточно, чтобы получить уйму инте­ресных вещей.

§ 4. Поляризованный свет

Прежде всего необходимо проверить одну идею. В гл. 9, § 4 (вып. 8), мы показали, что когда состояние правополяризованного по кругу света наблюдается из системы, повернутой на угол j вокруг оси z, то оно оказывается умноженным на е^ij. Не означает ли это, что фотоны правополяризованного по кругу света несут момент количества движения вдоль оси z, равный единице?

Да, так оно и есть. Это означает еще, что когда у нас имеется пучок света, содержащий множество фотонов, поголовно оди­наково поляризованных по кругу (как бывает в классических пучках), то он будет нести с собой какой-то момент количества движения. Если полная энергия, уносимая пучком за какое-то время, есть W, то в нем имеется N=W/hw фотонов. Каждый несет по моменту h, так что полный момент количества движения равен

J_z=Nh=W/w. (15.30)

Можно ли и в классике доказать, что свет, правополяризованный по кругу, несет с собой энергию и момент количества движения в пропорции W к w? Ведь если все правильно, это было бы классическое утверждение — случай, когда можно перейти от квантов к классике. Надо проверить, подтверждается ли это классической физикой. Тогда станет ясно, имеем ли мы право назвать т моментом количества движения. Припомним, чем в классическом смысле является правополяризованный свет. Он описывается электрическим полем с колеблющейся x-компонентой и колеблющейся y-компонентой, сдвинутыми по фазе на 90°, так что суммарный вектор x электриче­ского поля бежит по кругу (фиг. 15.5, а).

Фиг. I5.5. Электрическое поле xв поляризованной по кругу све­товой волне (а) и вращение элек­трона, приводимого в движение поляризованным по кругу светом (б). .