9. Квантовая механика II

Когда мы изучали сверхтонкую структуру атома водорода в гл. 10 (вып. 8), нам пришлось рассчитывать внутренние состоя­ния системы, составленной из двух частиц — электрона и протона — со спинами ¹/₂. Мы нашли, что четверка возможных спиновых состояний такой системы может быть разбита на две группы — на тройку состояний с одной энергией, которая во внешнем поле выглядела как частица со спином 1, и на одно ос­тавшееся состояние, которое вело себя как частица со спином 0. Иначе говоря, объединяя две частицы со спином ¹/₂, можно образовать систему, «полный спин» которой равен либо единице, либо нулю. В этом параграфе мы хотим рассмотреть на более общем уровне спиновые состояния системы, составленной из двух частиц с произвольными спинами. Это другая важная проблема, связанная с моментами количества движения квантовомеханической системы.

Перепишем сперва результаты гл. 10 для атома водорода в форме, которая позволит распространить их на более общий случай. Мы начали с двух частиц, которые теперь обозначим так: частица а (электрон) и частица b (протон). Спин частицы а был равен j_a(=¹/₂), a z-компонента момента количества движе­ния m_амогла принимать одно из нескольких значений (на са­мом деле два, а именно m_а=+¹/₂ или m_а=-¹/₂). Точно так же спиновое состояние частицы b описывалось ее спином j_b и z-компонентой момента количества движения m_b. Из всего этого можно было составить несколько комбинаций спиновых состояний двух частиц. Например, из частицы а с m_а= ¹/₂ и частицы b с m_b=-¹/₂ можно было образовать состояние | а, +¹/₂; b, -¹/₂>. Вообще, объединенные состояния образовы­вали систему, у которой «спин системы», или «полный спин», или «полный момент количества движения» J мог быть равен либо единице, либо нулю, а z-компонента момента количества движения М могла равняться +1, 0 или -1 при J=1 и нулю при J=0. На этом новом языке формулы (10.41) и (10.42) можно переписать так, как показано в табл. 16.3.

Левый столбец таблицы описывает составное состояние через его полный момент количества движения J и z-компоненту М.

Таблица 16.3 · СОСТАВЛЕНИЕ МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ ДВУХ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ ¹/₂,

Правый столбец показывает, как составляются эти состояния из значений т двух частиц а и b.

Мы хотим обобщить этот результат на состояния, составлен­ные из двух объектов а и b с произвольными спинами j_а и j_b. Начнем с разбора примера, когда j_а=¹/₂ и j_b=1, а именно с атома дейтерия, в котором частица а — это электрон е, а части­ца b — ядро, т. е. дейтрон d. Тогда j_a=j_e=¹/₂. Дейтрон обра­зован из одного протона и одного нейтрона в состоянии с пол­ным спином 1, так что j_b=j_d=1. Мы хотим рассмотреть сверхтонкие состояния дейтерия, как мы сделали это для водо­рода. Поскольку у дейтрона может быть три состояния, m_b= m_d=+1, 0, -1, а у электрона — два, m_а=m_е=+¹/₂, -¹/₂, то всего имеется шесть возможных состояний, а именно (используется обозначение

| е, m_e; d, m_d>):

Обратите внимание, что мы разверстали состояния согласно значениям суммы m_eи m_dв порядке ее убывания.

Спросим теперь: что случится с этими состояниями, если спроецировать их в другую систему координат? Если эту новую систему просто повернуть вокруг оси z на угол j, то состояние | е, m_e; d, m_d>умножается на

(Состояние можно считать произведением |е, m_е>|d, m_d>, и каждый вектор состояния независимо привнесет свой собст­венный экспоненциальный множитель.) Множитель (16.43) имеет форму е^iMj, поэтому z-компонента момента количества движения у состояния | е, m_е; d, m_d>окажется равной

M=m_e+m_d. (16.44)

Иначе говоря, z-компонента полного момента количества движения есть сумма z-компонент моментов количества движе­ния отдельных частей.

Значит, в перечне состояний (16.42) верхнее состояние имеет М=+³/₂, Два следующих М=+¹/₂, затем два М=-¹/₂и последнее состояние М=-³/₂. Мы сразу же видим, что одной из возможностей для спина J объединенного состояния (для полного момента количества движения) должно быть ³/₂, это потребует четырех состояний с М= +³/₂, +¹/₂, -¹/₂ и - ³/₂. На М=+³/₂ есть только один кандидат, и мы сразу видим, что

Но что является состоянием |J=³/₂, М=+¹/₂>? Кандидатов здесь два, они стоят во второй строчке (16.42), и всякая их ли­нейная комбинация тоже даст М=+¹/₂. Значит, в общем случае можно ожидать, что

где a и b — два числа. Их именуют коэффициенты Клебша — Гордона. Найти их и будет нашей очередной задачей.

И мы их легко найдем, если просто вспомним, что дейтрон состоит из нейтрона и протона, и в явном виде распишем со­стояния дейтрона, пользуясь правилами табл. 16.3. Если это проделать, то перечисленные в (16.42) состояния будут выгля­деть так, как показано в табл. 16.4.