9. Квантовая механика II

Пользуясь состояниями из этой таблицы, мы хотим образо­вать четверку состояний с J=³/₂. Но ответ нам уже известен, потому что в табл. 16.1 уже стоят состояния со спином ³/₂, образованные из трех частиц со спином ¹/₂. Первое состояние в табл. 16.1 имеет |J=³/₂, М=+³/₂>, это |+++>, а в наших нынешних обозначениях это |e, +¹/₂; n, + ¹/₂; p, +¹/₂>, или первое состояние из табл. 16.4. Но это состояние — то же самое, что первое по списку в (16.42), так что наше выражение (16.45) подтверждается. Вторая строчка в табл. 16.1 утверждает, если воспользоваться нашими теперешними обозначениями, что

То, что стоит в правой части, можно, очевидно, составить из двух членов во второй строчке табл. 16.4, взяв Ц²/₃ от пер­вого члена и Ц¹/₃от второго. Иначе говоря, (16.47) эквива­лентно

Таблица 16.4 · СОСТОЯНИЯ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ АТОМА ДЕЙТЕРИЯ

Мы нашли два наших первых коэффициента Клебша — Гор­дона a, и b [см. (16.46)]:

Повторяя ту же процедуру, найдем

а также, конечно,

Это и есть правила составления из спина 1 и спина ¹/₂ полного спина J=³/₂. Мы свели (16.45) и (16.50) в табл. 16.5.

Таблица 16.5 · СОСТОЯНИЯ С J=³/₂ АТОМА ДЕЙТЕРИЯ

Но у нас пока есть только четыре состояния, а у системы, которую мы рассматриваем, их шесть.

Из двух состояний во второй строчке (16.42) мы для об­разования |J=³/₂, М=+¹/₂> составили только одну линей­ную комбинацию. Есть и другая линейная комбинация, орто­гональная к ней, у нее тоже М=+¹/₂ и она имеет вид

Точно так же из двух состояний в третьей строке (16.42) можно скомбинировать два взаимно-ортогональных состояния, каждое с М =-¹/₂. То, которое ортогонально к (16.50), имеет вид

это и есть два оставшихся состояния. У них M=m_e+m_d=±¹/₂; эти состояния должны соответствовать J=¹/₂. Итак, мы имеем

Можно убедиться, что эти два состояния действительно ведут себя как состояния объекта со спином ¹/₂; для этого надо выразить дейтронную часть через нейтронные и протонные со­стояния (при помощи табл. 16.3). Первое состояние в (16.53) превратится в

(16.55) а это можно переписать так:

Посмотрите теперь на выражение в первых фигурных скобках и подумайте, что получается при объединении е и р. Вместе они образуют состояние с нулевым спином (см. нижнюю строку в табл. 16.3) и не дают вклада в момент количества движения. Остался только нейтрон, значит, вся первая фигурная скобка (16.56) будет вести себя при поворотах как нейтрон, а именно как состояние с J=¹/₂, M=+¹/₂.

Повторяя те же рассуждения, убедимся, что во вторых фигурных скобках (16.56) электрон и нейтрон объединяются, чтобы образовать нулевой момент количества движения, и ос­тается только вклад протона — с m_p=+¹/₂. Скобка опять ведет себя как объект с J=+¹/₂, М=+¹/₂. Значит, и все выра­жение (16.56) преобразуется как |J=+¹/₂, М=+¹/₂>, чего мы и хотели. Состояние М=-¹/₂,отвечающее формуле (16.56), можно расписать так (заменив везде, где нужно, +¹/₂ на -¹/₂):

Вы легко проверите, что это совпадает со второй строчкой в (16.54), как и полагается, если каждая скобка представляет собой одно из двух состояний системы со спином ¹/₂. Значит, наши результаты подтвердились. Дейтрон и электрон могут существовать в шести спиновых состояниях, четыре из которых ведут себя как состояния объекта со спином ³/₂ (табл. 16.5), а два — как объект со спином ^J/₂ (16.54).

Результаты табл. 16.5 и уравнения (16.54) мы получили, вос­пользовавшись тем, что дейтрон состоит из нейтрона и протона. Правильность уравнений не зависит от этого особого обстоятель­ства. Для любого объекта со спином 1, объединяемого с объектом со спином ¹/₂, законы объединения (и коэффициенты) одни и те же. Совокупность уравнений в табл. 16.5 означает, что если система координат поворачивается, скажем, вокруг оси у, так что состояния частицы со спином ¹/₂и частицы со спином 1 изме­няются согласно табл. 16.1 и 16.2, то линейные комбинации по правую сторону знака равенства будут изменяться так, как это свойственно объекту со спином ³/₂. При таком же повороте со­стояния (16.54) будут меняться как состояния объекта со спи­ном ¹/₂. Результаты зависят только от свойств относительно пово­ротов (т. е. от спиновых состояний) двух исходных частиц, но отнюдь не от происхождения их моментов количества движения. Мы этим происхождением воспользовались лишь для вывода формул, выбрав частный случай, в котором одна из составных частей сама состоит из двух частиц со спином ¹/₂ в симметричном состоянии. Все наши результаты мы свели в табл. 16.6, изменив индексы е и d на а и b, чтобы подчеркнуть их общность.

Таблица 16.6 · ОБЪЕДИНЕНИЕ ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ ¹/₂( j_a=¹/₂) С ЧАСТИЦЕЙ СО СПИНОМ 1 (j_b=1)

Поставим теперь себе общую задачу найти состояния, кото­рые можно образовать, объединяя два объекта с произвольными спинами. Скажем, у одного спин j_a(так что его z-компонента m_а пробегает 2j_а+1 значений от -j_aдо +j_a, а у другого j_b(с z-компонентой m_b, пробегающей значения от - j_bдо+j_b).