9. Квантовая механика II

Обратите внимание, что показатель степени в общем множителе мы изменили на +¹/₂. Это оттого, что внутри фигурных скобок в (16.60) стоит как раз N=(r+s)!/r!s! слагаемых. Если сопоста­вить (16.63) с (16.60), то ясно, что

— это краткая запись выражения

где N — количество различных слагаемых в скобках. Эти обо­значения удобны тем, что каждый раз при повороте все знаки плюс вносят один и тот же множитель, так что в итоге он полу­чается в r-й степени. Точно так же все знаки минус дадут некоторый множитель в s-й степени, в каком бы порядке эти знаки ни стояли.

Теперь положим, что мы повернули нашу систему вокруг оси у на угол q. Нас интересует. Оператор R_y(q), дей­ствуя на каждый |+>, дает

где С=cosq/2 и S=sin q/2. Когда же R_y(q) действует на | ->, это приводит к

Так что искомое выражение равно

Теперь надо возвысить биномы в степень и перемножить. По­явятся члены со всеми степенями |+ у от нуля до r+s. Посмот­рим, какие члены дадут r'-ю степень |+ ). Они всегда будут сопровождаться множителем типа |->^s', где s'=2j-r'. Соберем их вместе. Получится сумма членов типа |+>^r' |->^s' с численными коэффициентами А_r' , куда входят коэффициенты биномиального разложения вместе с множителями С и S. Урав­нение (16.65) тогда будет выглядеть так:

Теперь разделим каждое А_r'на множитель [(r'+s')\lr'!s'!]^l/2 и обозначим частное через В_r. Тогда (16.66) превратится в

[Можно просто сказать, что требование, чтобы (16.67) совпадало с (16.65), определяет B_r’]

Если так определить В_r' , то оставшиеся множители в правой части (16.67) будут как раз состояниями. Итак, имеем

где s' всегда равняется r+s-r'. А это, конечно, означает, что коэффициенты В_r'и есть искомые матричные элементы

Теперь, чтобы найти B_r', остается немного: лишь про­биться через алгебру.

Сравнивая (16.67) с (16.65) и вспоминая, что r'+s'=r+s, мы видим, что B_r' — это просто коэффициент при a^r'b^s'в вы­ражении

Осталась лишь нудная работа разложить скобки по биному Ньютона и собрать члены с данными степенями а и b. Если вы все это проделаете, то увидите, что коэффициент при а^r'b^s' в (16.70) имеет вид

Сумма берется по всем целым k, при которых аргументы факто­риалов больше или в крайнем случае равны нулю. Это выраже­ние и есть искомый матричный элемент.

В конце надо вернуться к нашим первоначальным обозначе­ниям j, m и m', пользуясь формулами

r=j+-m, r'=j+m', s=j-m, s'=j-m'. Проделав эти подстановки, получим уравнение (16.34) из § 4.

Добавление 2. Сохранение четности при испускании фотона

В § 1 мы рассмотрели испускание света атомом, который переходит из возбужденного состояния со спином 1 в основное состояние со спином 0. Если спин возбужденного состояния на­правлен вверх (m=+1), то атом может излучить вверх вдоль оси +z правый фотон или вдоль оси -z левый. Обозначим эти два состояния фотона |R_вв> и |L_вн>. Ни одно из них не обладает определенной четностью. Если оператор четности обозначить

Что же тогда будет с нашим прежним доказательством, что атом в состоянии с определенной энергией должен иметь опре­деленную четность, и с нашим утверждением, что четность в атомных процессах сохраняется? Разве не должно конечное состояние в этой задаче (состояние после излучения фотона) иметь определенную четность? Да, должно, если только мы рас­смотрим полное конечное состояние, в которое входят амплитуды излучения фотонов под всевозможными углами. А в § 1 мы рассматривали только часть полного конечного состояния.

Если вы хотите, можно рассмотреть только конечные состоя­ния, у которых действительно определенная четность. Напри­мер, рассмотрим конечное состояние |y_k>, у которого есть некоторая амплитуда а оказаться правым фотоном, движу­щимся вдоль оси +z, и некоторая амплитуда b оказаться левым фотоном, движущимся вдоль оси -z. Можно написать

Оператор четности, действуя на это состояние, дает

Это состояние совпадает с ±|y_к> либо при b=a, либо при b=-a. Так что конечное состояние с положительной чет­ностью таково:

а состояние с отрицательной четностью

Далее, мы хотим рассмотреть распад возбужденного состоя­ния с отрицательной четностью на основное состояние с положительной четностью и на фотон. Если четность должна сохра­ниться, то конечное состояние фотона должно иметь отрица­тельную четность. Оно обязано быть состоянием (16.75). Если амплитуда того, что будет обнаружено | R_вв>, есть a, то ампли­туда того, что будет обнаружено | L_вн>, есть -a.

Теперь обратите внимание на то, что получается, если мы проводим поворот на 180° вокруг оси у. Начальное возбужден­ное состояние атома становится состоянием с m=-1 (соглас­но табл. 15.2, стр. 129, знак не меняется). А поворот конечного состояния дает