9. Квантовая механика II

Это и есть уравнение Шредингера для частицы с зарядом q (нерелятивистской, без спина), движущейся в электромагнитном поле А, j.

Чтобы стало ясно, что оно правильно, я хочу проиллюстриро­вать это простым примером, когда вместо непрерывного случая имеется линия атомов, расставленных на оси x на расстоянии b друг от друга, и существует амплитуда —К того, что электрон перепрыгнет в отсутствие поля от одного атома к другому. Тогда, согласно уравнению (19.1), если имеется вектор-потен­циал А_x(х, t) в x-направлении, то амплитуда перескока по сравнению с тем, что было раньше, изменится, ее придется домножить на exp[(iq/h)A_xb] — экспоненту с показателем, равным произведению iq/h на векторный потенциал, проинтегрирован­ный от одного атома до другого. Для простоты мы будем писать (q/h) A_xєf(x), поскольку А_х, вообще говоря, зависит от х. Если обозначить через С(х)єС_nамплитуду того, что электрон обнаружится возле атома n, расположенного в точке х, то скорость изменения этой амплитуды будет даваться уравнением

В нем три части. Во-первых, у электрона, который находится в точке х, есть некоторая энергия Е₀. Это, как обычно, дает член Е₀С(х). Затем имеется член — КС(х+b), т. е. амплитуда того, что электрон от атома n+1, расположенного в х+b, отпрыг­нул на шаг назад. Однако если это происходит в присутствии век­торного потенциала, то фаза амплитуды обязана сместиться со­гласно правилу (19.1). Если А_хна расстоянии между соседними атомами заметно не изменяется, то интеграл можно записать по­просту в виде значения А_хпосредине, умноженного на расстоя­ние. Итак, произведение (iq/h) на интеграл равно ibf(x+b/2). А раз электрон прыгал назад, я этот сдвиг фазы отмечаю знаком минус. Это дает вторую часть. И точно так же имеется некоторая амплитуда того, что будет прыжок вперед, но на этот раз уже бе­рется векторный потенциал с другой стороны от х, на расстоя­нии b/2, и умножается на расстояние b. Это дает третью часть. В сумме получается уравнение для амплитуды того, что частица в поле, характеризуемом векторным потенциалом, окажется в точке х.

Но дальше мы знаем, что если функция С(х)достаточно плав­ная (мы берем длинноволновый предел) и если мы сдвинем ато­мы потеснее, то уравнение (14.4) (стр. 80) будет приблизитель­но описывать поведение электрона в пустоте. Поэтому следую­щим шагом явится разложение обеих сторон (19.4) по степеням b, считая b очень малым. К примеру, если b=0, то правая часть будет равна просто (Е₀-2К)С(х), так что в нулевом приближе­нии энергия равняется Е₀-2К. Затем пойдут степени b, но из-за того, что знаки показателей экспонент противоположны, оста­нутся только четные степени. В итоге, если вы разложите в ряд Тэйлора С(х), f(x) и экспоненты и соберете затем члены с b², вы получите

(штрихи обозначают дифференцирование по х).

Это ужасное нагромождение разных букв выглядит очень сложно. Но математически оно в точности совпадает с

Вторая скобка, действуя на С(х), даст С'(х)минус if(x)C(x). Первая скобка, действуя на эти два члена, даст член с С", члены с первыми производными f(x) и с первой производной С(х). А теперь вспомните, что решения в нулевом магнитном поле (см. гл. 11, §3) изображают частицу с эффективной массой m_эфф, даваемой формулой

Kb²=h/m_эфф

Если вы затем положите Е₀=+2К и снова вернетесь к f(x)=(q/h)A_x, то легко убедитесь, что (19.6) это то же самое, что первая часть (19.3). (Происхождение члена с потенциальной энергией хорошо известно, и я не буду им заниматься.) Утверж­дение (19.1) о том, что векторный потенциал умножает все амп­литуды на экспоненциальный множитель, равнозначно правилу, что оператор импульса (h/i)Сзаменяется на (h/i)С-qA, как мы и сделали в уравнении Шредингера (19.3).

§ 2. Уравнение непрерывности для вероятностей