9. Квантовая механика II

До сих пор мы в основном напоминали вам о том, что вы уже знаете. А теперь перейдем к новому. Как бы вы подсчитали среднюю энергию системы, скажем, атома? Если атом находится в определенном состоянии с определенной энергией и вы эту энергию измеряете, то вы получите определенную энергию Е. Если вы начнете повторять измерения с каждым из множества атомов, которые отобраны так, чтобы быть всем в одинаковом состоянии, то все измерения дадут вам Е, и «среднее» изо всех ваших измерений тоже, конечно, окажется Е.

Но что случится, если вы проделаете свои измерения над состоянием |y>, которое не является стационарным? Раз у си­стемы нет определенной энергии, то одно измерение даст одну энергию, то же измерение над другим атомом в том же состоя­нии даст другую и т. д. Каким же окажется среднее всей серии измерений энергии?

На этот вопрос мы ответим, если возьмем проекцию состоя­ния |y> на систему состояний с определенной энергией. Чтобы помнить, что это особый базис, будем обозначать эти состояния |h_i>. Каждое из состояний |h_i> обладает определенной энер­гией E_i, В этом представлении

Когда вы проделываете измерение энергии и получаете некото­рое число Е_i, вы тем самым обнаруживаете, что система была в состоянии |h_i>. Но в каждом новом измерении вы можете получить новое число. Иногда вы получите E₁, иногда Е₂, иногда Е₃и т. д. Вероятность, что вы обнаружите энергию E_1? равна попросту вероятности обнаружить систему в состоянии |h₁>, т. е. квадрату модуля амплитуды С₁=1|y>. Вероятность обнаружить то или иное возможное значение энергии E_iесть

P_i=|C_i|². (18.11)

Как же связать эти вероятности со средним значением всей последовательности измерений энергий? Вообразим, что мы получили ряд результатов измерений, например E₁, Е₇, E₁₁, Е₉, E₁, E₁₀, Е₇, E₂, Е₃, Е₉, Е₆, E₄и т. д., всего тысяча измерений. Сложим все энергии и разделим на 1000. Это и есть среднее. Можно сложение проделать и покороче. Посчитайте, сколько раз у вас вышло E₁(скажем, оно вышло N₁раз), сколько раз вышло Е₂(скажем, N₂раз) и т. д. Ясно, что сумма всех энер­гий равна

Средняя энергия равна этой сумме, деленной на полное число измерений, т. е. на сумму всех N_i, которую мы обозначим N:

Мы почти у цели. Под вероятностью какого-нибудь собы­тия мы понимаем как раз число случаев, когда ожидается на­ступление этого события, деленное на общее число испытаний. Отношение N_i/N должно (при больших N) мало отличаться от P_i— вероятности обнаружить состояние |h_i>, хоть и не будет точно совпадать с Р_iиз-за статистических флуктуации. Обозначим предсказываемую (или «ожидаемую») среднюю энер­гию <E>_ср; тогда мы вправе сказать

Те же рассуждения подойдут к измерениям каких угодно вели­чин. Среднее значение измеряемой величины А должно равняться

где a_i—различные допустимые значения наблюдаемой вели­чины, а Р_i — вероятность получения этого значения.

Вернемся теперь к нашему квантовомеханическому состо­янию |y>. Его средняя энергия равна

А теперь следите внимательно! Сначала перепишем эту сумму так: