Алексей Васильевич Шубников (1887—1970)

В «Атласе» даны изображения: 10 групп симметрии форм граней (G₂₀); 31 группа симметрии форм двумерных кристаллов (таблетки G₃₂₀); 32 группы симметрии форм кристаллов (G₃₀); 7 групп симметрии ребер (бордюров G₂₁); 29 полярных стержневых групп, входящих в состав 75 групп симметрии рядов (G₃₁); 17 групп симметрии граней (G₂); 80 групп симметрии слоев (G₃₂); 230 пространственных групп G₃.

«Диссимметрия» А. В. Шубникова [151] — одна из замечательных статей, в которой объединено несколько важных для теории симметрии положений. В первую очередь, следуя П. Кюри, автор окончательно дает определение диссимметрии: «...мы будем называть элементами диссимметрии данной группы те из элементов симметрии высшей взятой для сравнения группы, которые выпадают из нее при переходе к данной группе, являющейся подгруппой высшей группы. Иначе говоря, элементами диссимметрии данной группы будем называть те элементы симметрии, которые нужно добавить к данной группе, чтобы она преобразовалась в высшую группу, сравниваемую с данной» [ 151, с. 158]. Проанализировав вопрос существования диссимметрии, автор приходит к выводу: «...каждой группе симметрии можно при желании найти высшую группу, по отношению к которой данная группа симметрии будет подгруппой» [151, с. 162]. Отсюда исходят многие из современных методов расширения групп ортогональной симметрии. Исследовав вопрос о минимальной симметрии, автор приходит к заключению: «...мы...должны сделать вывод о принципиальной неисчерпаемости симметрии не только в направлении поисков высших групп симметрии, но и в обратном стремлении найти минимальную симметрию» [151, с. 163].

В 1948 г. вышли две работы А. В. Шубникова [158, 160]. Первую из статей проанализируем при рассмотрении групп аффинной симметрии. Вторая статья посвящена получению групп G₃₀ абстрактно-групповыми методами, и тогда группы симметрии 2, т и I абстрактно изоморфны, поэтому 32 кристаллографическим группам соответствует лишь 18 точечных абстрактных. В заключении авторы пишут: «Принимая такую классификацию, мы тем самым соглашаемся считать одинаковыми многие из тех групп, которые в обычной классификации трактуются как различные; в частности, с новой точки зрения одинаковыми должны считаться моноклинные группы С₂ и C_s с триклинной C_h Между тем кристаллы, отвечающие этим группам, обладают совершенно различными свойствами. Поэтому для целей кристаллографии классическое разделение на 32 группы остается неизменным» [160, с. 672].

Дальнейшее углубление теории дискретных групп ортогональной симметрии в трудах А. В. Шубникова и ее рассмотрение в историческом аспекте немыслимо без анализа общего состояния этой теории. К началу 50-х годов нашего столетия теорию ортогональной симметрии можно было в целом считать законченной, однако существовало, да и сейчас существует, множество вопросов, нуждающихся в уточнении, дополнении, упрощении. Не секрет, что вывод 230 групп, данный в свое время Е. С. Федоровым и А. Шенфлисом, весьма сложен для восприятия, а модифицированное их повторение С. А. Богомоловым не менее трудно для понимания. Проблема наглядного вывода федоровских групп решена в работах Н. В. Белова, посвященных как отдельным вопросам строения федоровских групп (Браве-решеткам, элементам симметрии пространственных федоровских групп), так и самому выводу в популярном «Классном методе вывода пространственных групп симметрии», увидевшем свет в 1951 г. Н. В. Белов неоднократно возвращался к этой проблеме, постоянно упрощая и делая все более наглядным механизм «порождения» одних групп другими.

Детализация учения об ортогональной симметрии привела к своеобразному «размежеванию» школ А. В. Шубникова и Н. В. Белова. Действительно, в трудах А. В. Шубникова в основном рассматриваются проблемы уточнения и классификации свойств точечных групп симметрии [240, 258, 299, 300, 329], в то время как в рамках школы Н. В. Белова, помимо максимального внимания к федоровским группам и 14 решеткам Браще, развивается и дополняется учение об одномерных и двумерных малых кристаллических группах, рассматриваются проблемы их классификации, где интересы А. В. Шубникова и Н. В. Белова пересекаются. А вот работы по точечным группам в рамках школы Н. В. Белова скорее исключение, чем правило, да и они рассматриваются больше с пространственных, чем с «точечных» позиций. Поэтому для школы Н. В. Белова и логичен интерес к выводу вначале четырехмерных решеток Браве (на основе известной теоремы Цассенхауза, для получения групп G₄ достаточно знать решетки и точечные группы G₄₀), а затем и самих групп. Иной подход к «малым многомерным» группам симметрии типа G₄₁, G₄₂... характерен для А. Ф. Палистранта в рамках общей систематики групп вида G_pqrs. Отметим, что алгоритм отыскания четырехмерных точечных групп был найден Э. Гурса в 1889 г. (G₄ = прямому произведению групп дробно-линейных преобразований), а в 1951 г. Харли нашел почти все четырехмерные кристаллографические группы. В 1967 г. их число было уточнено до 227.