Ален Бадью об Алене Бадью

На этот вопрос можно ответить следующим образом. Математическая теория с аксиоматикой Цермело – Френкеля предлагает философу ясное и строгое научное знание о всех допустимых формах чистой множественности (не имеющей ни единства, ни эмпирических предикатов вроде «материи», «духа», «атомов», «потоков» и т. д.). Эти формы определяются исключительно неопределенными элементами («наборами») и ничем больше, потому что составляющие множество элементы сами являются множествами. Определения того, что такое множество, не дается, и это соответствует самой функции множества, которое является чистой формой бытия, состоящей из других форм. «Полагание» осуществляется только в аксиомах, которые задают ряд относительных свойств, без которых нельзя понять, что представляет собой та или иная форма. Элементарное отношение, которое называют «принадлежностью» и обозначаемое ∈, как в случае x ∈ у, утверждает, что множество x является элементом множества у. Отношение ∈ можно считать особым: всякое другое отношение в рамках аксиоматики Цермело – Френкеля может быть определено через него посредством классической логики. Наконец, аксиоматика задает свойства отношения ∈ в рамках определенной логики, а на основе этих свойств – и целого ряда других свойств, характеризующих формы чистой множественности, к примеру «быть транзитивным», «быть бесконечным», «быть фундированным», «быть ординальным», «быть множеством подмножеств», «быть функцией», «быть обобщенным», «быть недоступным кардиналом» и т. д. Все эти свойства дают философу чрезвычайно гибкие инструменты понятийного постижения бытия, а оно, в свою очередь, оказывается философской проблемой с подачи математики.

Может возникнуть вопрос, почему спекулятивное изучение бытия, как подметил уже Аристотель в книге Гамма своего трактата «Метафизика», должно осуществляться с опорой на классическую логику, для которой ведущую роль играет принцип непротиворечивости (невозможно одновременно утверждать «p» и «неверно, что p») и принцип исключенного третьего (если дано корректно построенное высказывание «p», то верно одно из двух: либо оно истинно, либо оно ложно, а третьего не дано). Философский ответ гласит: в большинстве случаев онтологические высказывания требуют, как величаво указывает Парменид, чтобы мы пользовались рассуждением от абсурда. Парменид начинает свое спекулятивное рассуждение с утверждения, что мы не можем непосредственно показать, будто существует только бытие, потому что для обоснования этого утверждения нам нужно показать, что небытие не существует. В духе его учения часто говорят, что в рамках теории множеств невозможно прямо доказать существование той или иной формы чистой множественности. Относительно определенного набора форм невозможно построить конструктивного и по возможности также интуитивно ясного доказательства их существования. Но зато мы можем прийти к другому результату, например: «Если я отрицаю существование этой конкретной формы множественности, то я вынужден отрицать и то высказывание, которое я до этого признал истинным». Рассуждение от абсурда в таком случае позволяет заключить, что данная форма множественности существует. Мы также можем – должны – принять правило самой широкой допустимости, которое можно сформулировать следующим образом: «Если данная форма множественности, например тот или иной вид бесконечной множественности, может быть ясно определена в рамках формального языка, так что отрицать ее существование окажется невозможно, то я могу, а на самом деле я должен, принять, что она существует». Вся суть в том, что с онтологической точки зрения на фундаментальном отношении принадлежности, то есть е, стоит печать классической логики.

Действительно, если даны два множества х и у, то верно либо «х ∈ у», либо «неверно, что х ∈ у». Третьего не дано, а значит, действует закон исключенного третьего из классической логики. Мое спекулятивное суждение поэтому состоит в том, что онтология – классична.

Теперь я должен показать, что аксиомы классической теории множеств, основанной на аксиоматике Цермело – Френкеля, могут похвастаться философской легитимностью. Мне это удалось, я полагаю вполне добросовестно, продемонстрировать для каждой аксиомы системы Цермело – Френкеля. Ограничусь здесь тремя примерами, которые затрагивают наиболее спорные аксиомы, в том числе и с точки зрения философов.