Ален Бадью об Алене Бадью

Первый пример. Я принимаю по исключительно онтологическим соображениям ужасную, контринтуитивную и часто поносимую «аксиому выбора», которая представляет собой одну из важнейших и характернейших составляющих системы Цермело – Френкеля. Эта аксиома утверждает, что если дано множество множеств – чем, как мы помним, является любое множество, – то всегда без исключения можно найти такую функцию, которая позволяет мне отыскать в каждом из этих множеств один, и только один, элемент. Иначе говоря, если дано множество A, включающее элементы x₁, x ₂, x ₃… x_n, x_{n +1}…, существует такая функция f, именуемая функцией выбора, что она «извлекает» из каждого набора элементов x₁, x₂, x₃… x_n, x_n+1… один, и только один, элемент. В общем, мы имеем такую функцию f(A), что для каждого x_n из A существует y_n, ∈ f(A), такой, что этот y_n окажется единственным элементом из f(A), принадлежащим x_n. Функция f «выбирает» один элемент из набора принадлежащих A элементов. Так что f(A) можно сравнить с национальной ассамблеей представителей элементов из множества A, по одному избранному представителю на каждый элемент, а f в таком случае – электоральная процедура по назначению этих представителей.

Аксиома выбора позволяет избежать проблем с выбором, покуда оперируют конечными множествами. Но в случае с бесконечными множествами возникает вопрос, каким образом определять функцию, ставящую одного представителя в соответствие каждому элементу исходного бесконечного множества? Чаще всего невозможно доказать существование точно заданной операции извлечения бесконечного набора представителей из бесконечного множества. С аксиомой выбора потому спорили, что она утверждает существование операции, которую невозможно задать. На самом деле в случае с бесконечными множествами аксиома выбора утверждает существование особого бесконечного множества, такого, которое является результатом одновременного выбора по одному элементу из каждого элемента исходного бесконечного множества. Но само существование этого множества, в общем, не может быть доказано или сконструировано, а потому его существование постулируется аксиомой выбора как априорный принцип.

Тем не менее я принимаю эту аксиому по трем соображениям философского характера.

Первое я называю принципом максимальности: материалистическая онтология полагает, что любая точно заданная форма множественности должна считаться гипотетически реальной, если не доказано обратного. Всякое ограничение на существование тех или иных форм множественности с онтологической точки зрения неприемлемо, если оно мотивировано границами нашей способности как существ конечных на деле сконструировать составляющие их элементы. Ведь в противном случае мы впадаем в эмпирический релятивизм. То, что мы не в состоянии сконструировать ту или иную форму бытия множественности, не означает, что мы вправе отрицать ее существование. За неимением опровержения аксиома выбора остается в силе. С точки зрения этой аксиомы некое множество ясно определяется как «представитель» некоторого иного множества, что уже само по себе интересно, но и с практической точки зрения доказало свою незаменимость в современном анализе.

Второе соображение – логическое. Согласно красивой теореме Диаконеску, используемой в рамках теории категорий, аксиома выбора требует опираться на классическую логику. Отказ от аксиомы выбора, таким образом, влечет возможность неклассической логики, что с онтологической точки зрения неприемлемо.

Третье соображение больше относится к мета-математике: Гедель доказал, что если теория Цермело – Френкеля без аксиомы выбора является когерентной (не содержит внутренних противоречий), то таковой является и теория Цермело – Френкеля с аксиомой выбора. Добавление аксиомы, таким образом, само по себе не создает проблем.

Будучи примером принципа максимальности, гарантией классической логики, не нарушая контекстуальной связности, аксиома выбора является ценнейшим принципом спекулятивной онтологии.

Второй пример. Я принимаю, по одной важной причине философского характера, аксиому основания. Эта аксиома утверждает, что всякое множество включает по меньшей мере один элемент (или несколько), который сам не содержит общих элементов с исходным множеством. Если словесная формулировка вам покажется недостаточно ясной, запишем ее в виде формулы:

Для любого множества x: ∀x Существует по меньшей мере одно множество у: ∃у

Такое, что оно является элементов первого множества: у ∈ x

И такое, что если z является элементом Y: z ∈ у

То z не является элементом исходного множества x: (z ∈ х)

После чего можно записать все это одной формулой, как видите, гораздо более компактной, чем соответствующее высказывание на родном языке:

(∀x) (∃y) [(y ∈ x) & [(z ∈ y) → (z ∈ x)]]