Алиса в стране математики

Присмотревшись, Алиса увидела, что на одежде каждой фигуры красиво вышито число: на белых фигурах цифры были чёрными, а на чёрных — белыми.

В одной из групп белых фигур Алиса узнала своего знакомого Белого Короля; на его мантии и на мантии стоящей рядом с ним Белой Королевы были вышиты большие чёрные единицы. Почувствовав на себе взгляд Алисы, Король поднял голову и помахал Алисе рукой. Она ответила ему, и вдруг белые пешки-пажи тоже стали её приветствовать (Алисе, конечно, трудно было узнать в этих изящных пажах своих знакомых-поварят, но они её узнали!). На белых плащах пажей были вышиты числа от одного до восьми.

Рядом с этой группой белых фигур стояла группа чёрных фигур. Алиса заметила, что на мантиях Чёрного Короля и Чёрной Королевы вышиты белые единицы, а на плащах пажей — тоже числа от одного до восьми.

— Что означают числа на одежде фигур? — спросила Алиса.

— Каждая фигура имеет свой номер, — пояснил Кот.

— А здесь есть фигуры с любыми номерами? — снова спросила Алиса, пытаясь окинуть взглядом безбрежное море фигур.

— С любыми, — подтвердил Кот. — Какое натуральное число ни возьми, здесь есть один белый король с таким номером, одна белая королева и одна белая пешка. И чёрные фигуры пронумерованы точно так же.

— Но зачем нужны эти номера? — спросила Алиса, но в этот момент заиграла музыка.

Первым танцем был менуэт — «король танцев» и «танец королей». Белые короли вели чёрных королев, а чёрные короли — белых королев. Это было великолепное зрелище: сверху казалось, будто по всей шахматной доске под медленную музыку двигаются чёрно-белые волны.

— Обрати внимание на важное правило танца, — сказал Кот, любуясь танцующими парами, — каждый король ведёт королеву с точно таким же номером, как у него самого.

— Действительно, — подтвердила Алиса, внимательно посмотрев в подзорную трубу. — Но разве это так важно?

— Очень важно, — отозвался Кот. — Ведь только благодаря этому правилу можно быть уверенным, что каждый король пригласил королеву и каждая королева приглашена королём.

— Но это же и так видно! — воскликнула Алиса.

— Увидеть бесконечное число фигур невозможно, — возразил Кот. — И если бы не это правило — одинаковые числа в каждой паре, — то многие королевы могли бы остаться неприглашёнными!

— А все короли при этом танцевали бы? — недоверчиво спросила Алиса.

— Все до единого, — ответил Кот.

— Не может быть! — воскликнула Алиса.

— Ещё как может! — отозвался Кот. — Даже бесконечно много королев могли бы остаться неприглашёнными...

Алиса хотела возразить Коту, но в этот момент музыка смолкла, и Кот сказал:

— Следующие два танца с королевами будут танцевать пажи.

— А как же короли? — удивилась Алиса.

— Королям надо обсудить кое-какие дела друг с другом, — пояснил Кот.

— Я вижу, короли занимаются королевскими делами даже на балах, — заметила Алиса.

Фигуры на шахматной доске быстро перестроились, и грянул какой-то веселый танец. Чёрные пешки как по команде окружили белых королев, а белые — чёрных, и через секунду вокруг каждой королевы, взявшись за руки, кружились восемь пешек. Сверху казалось, будто под стремительную музыку вскипает океан!

Алиса тоже невольно начала приплясывать, и Кот тут же последовал её примеру. Маленькая корзина воздушного шара закачалась под музыку из стороны в сторону.

— Неужели короли могут сейчас что-то обсуждать? — со смехом спросила Алиса.

— Могут, — ответил Кот, тоже смеясь. — На то они и короли!

И вдруг быстрый танец сменился красивым медленным вальсом.

— Как же теперь пажи будут танцевать с королевами? — удивилась Алиса. — Вальс ведь танцуют парами, а на каждую королеву приходится по восемь пажей!

— Сейчас увидишь, — отозвался Кот.

Фигуры внизу снова перестроились, и Алиса увидела, что пажи и королевы танцуют парами! Белые пажи вели чёрных королев, а чёрные — белых: казалось, вся шахматная доска внизу кружится в ритме вальса, и у Алисы закружилась голова.

— Как это получилось? — тряхнув головой, с недоумением спросила Алиса.

— Присмотрись к номерам, и ты всё поймёшь, — посоветовал Кот.

Алиса взяла подзорную трубу и увидела, что номер каждой королевы совпадает с номером той пешки, которая с ней танцует!

— Я поняла! — воскликнула Алиса. — Раз Королевы и пешки есть со всеми номерами, то для любой пешки нашлась королева с таким же номером! И ни одна пешка не осталась в стороне. Действительно, очень удобно, что на этом балу у всех фигур есть номера!

— На таком балу это просто необходимо! — отозвался Кот. — Но смотри: сейчас будут танцевать все фигуры!

— Неужели каждый король будет танцевать с королевой и пажом? — удивилась Алиса. — Странный какой-то танец втроём...

Вальс сменился котильоном, и, к удивлению Алисы, оказалось, что все снова танцуют парами! Взяв подзорную трубу, Алиса увидела, что королевы с чётными номерами танцуют с пажами, а королевы с нечётными номерами — с королями. И поэтому королев хватило и пажам и королям!

— Всё это очень похоже на фокусы! — воскликнула Алиса.