Алиса в Стране Смекалки

— Еще как заставляют! — призналась Алиса. — У меня от вашего вопроса чуть не разболелась голова! Уж не парадокс ли ваш вопрос?

— Вот именно, дитя мое! Великолепный пример парадокса, и это — самое прекрасное в нем! Я сам его придумал!

— Знаю, — подтвердила Алиса. — Вы повторили это уже дважды.

— Не совсем! — возразил Шалтай-Болтай. — Я сказал это дважды, а повторил только один раз.

— Но дело не в этом, — продолжал он. — Обычно парадоксам придают форму утверждений, а не вопросов. Мой же парадокс (и в этом его новизна) облечен в форму вопроса, а не утверждения. В основе его та же замечательная идея, которая заложена в знаменитом утверждении, утверждающем, что оно ложно!

— А что это за утверждение? — спросила Алиса.

— Это очень известное утверждение. Если хочешь, могу записать тебе его на память.

Алиса протянула Шалтаю-Болтаю карандаш и записную книжку. Шалтай-Болтай просмотрел первые девять страниц.

— Очень интересно, — заметил он, — но ты забыла пронумеровать страницы. Не забывай, что страницы нужно непременно нумеровать. Иначе как ты узнаешь, какая страница за какой следует?

— Но ведь странички не вырваны из записной книжки, — возразила Алиса, — а переплетены вместе, поэтому сразу видно, какая страничка за какой следует!

— Все равно страницы нужно нумеровать! — настаивал Шалтай-Болтай. — Я их тебе сейчас перенумерую.

Он перенумеровал первые девять страниц, а затем еще чистые десятую и одиннадцатую страницы. Затем на десятой странице он написал

— 10 — Утверждение на странице 10 ложно — и отдал записную книжку Алисе.

— Что ты теперь скажешь? — спросил ШалтайБолтай. — Истинно или ложно утверждение на странице 10 твоей записной книжки?

— На этот вопрос невозможно ответить, — сказала Алиса, немного подумав. — Оно может быть и истинным, и ложным.

— Неправильно! — воскликнул Шалтай-Болтай. — Неправильно, что оно может быть и истинным, и ложным. Оно не может быть ни истинным, ни ложным!

— А почему? — спросила Алиса.

— Сейчас объясню, дитя мое. Как, по-твоему, может ли это утверждение быть истинным?

— А почему бы нет? — удивилась Алиса.

— Хорошо, будь по-твоему. Предположим, что это утверждение истинно. Тогда то, что в нем говорится, должно соответствовать действительности. Но в нем говорится, что оно ложно. Следовательно, в действительности оно должно быть ложно. Значит, если оно истинно, то оно ложно. Но одно и то же утверждение не может быть одновременно и истинным, и ложным. Следовательно, оно не может быть истинным.

— Совершенно верно! — сказала Алиса. — А раз оно не может быть истинным, то должно быть ложным.

— Опять неправильно! — торжествующе сказал Шалтай-Болтай. — Оно не может быть и ложным!

— А почему? — спросила Алиса.

— А вот почему. Предположим, что оно ложно. Тогда то, что в нем говорится, не соответствует действительности. Но в нем говорится, что оно ложно. Поскольку то, что в нем говорится, не соответствует действительности, оно в действительности не ложно. Значит, в действительности оно истинно. Следовательно, если оно ложно, то оно истинно, и мы опять приходим к противоречию. Значит, это утверждение не может быть ложным. Вот тебе и весь сказ!

— Как же быть? — огорченно сказала Алиса. — Я опять в таком же затруднительном положении, как с вашей первой задачей!

— Совершенно верно! — согласился Шалтай-Болтай. И это самое прекрасное.

— Припоминаю, — продолжала Алиса, — что мне приходилось слышать о похожем парадоксе и раньше — историю о древнегреческом философе Эпимениде Критском. По преданию, он сказал:

«Все критяне лжецы». Если Эпименид говорит правду, то он лжет, а если Эпименид лжет, то он говорит правду. Это и есть парадокс.

— Неправильно! — решительно возразил Шалтай-Болтай. — Это не парадокс, а распространенная логическая ошибка. Одна из таких ошибок, которые только выглядят как парадокс, а на самом деле никакой это не парадокс!

— Не могли бы вы объяснить это мне подробнее? — попросила Алиса.

— Прежде всего выясним, кого ты называешь лжецом — того, кто все время лжет, или того, кто лжет время от времени?

— Я никогда не задумывалась над этим раньше, — призналась Алиса, — но, полагаю, что даже того, кто лжет время от времени, следовало бы называть лжецом.

— Тогда то, о чем ты говоришь, заведомо не парадокс, — ответил Шалтай-Болтай. — Утверждение Эпименида вполне может быть истинным, если понимать слово «лжец» по-твоему. Оно означает лишь, что все критяне время от времени лгут. Сам Эпименид, будучи критянином, также время от времени лжет, но это отнюдь не означает, что высказанное им вполне определенное утверждение о критянах (а нас интересует именно такое утверждение — о том, что все критяне лжецы) ложно. Как видишь, никакого парадокса тут нет.

— Вижу, — сказала Алиса. — Наверное, мне нужно было иначе определить, что такое лжец? По-видимому, лжец — это человек, который всегда лжет. Может быть, тут мы придем к парадоксу?