Амальгама

Тан до такой степени отточил свой подход к описанию геометрии, что теперь мог рассчитать естественные траектории – ближайшие аналоги прямых линий – для любой искривленной поверхности. Оставался, тем не менее, один ключевой шаг: найти верный переход от геометрии чистого пространства к геометрии, включающей как пространство, так и время.

Анализируя траекторию на искривленной поверхности, Тан разбивал ее на множество крошечных прямолинейных отрезков равной длины. Эти короткие прямые линии выступали в качестве меток, указывающих направление кривой. После этого геометрию поверхности можно было охарактеризовать простым математическим правилом, которое Тан называл «связностью». При помощи связности можно было перенести направление из заданной точки в соседнюю с учетом геометрии поверхности. Если кривая представляла собой естественную траекторию, то после разбиения ее на отдельные сегменты и применения связности для сдвига каждого из них на один шаг вперед, оказывалось, что сдвинутые сегменты совпадают с исходными: сдвиг первого на один шаг вдоль кривой дает направление второго и так далее. Если же кривая отличалась от естественной траектории, направления оказывались рассогласованными, а разница между ними служила мерой отклонения кривой от траектории, заданной геометрией поверхности.

Тот факт, что кривая всегда разбивалась на сегменты равной длины, представлял собой ключевой момент всей процедуры, поскольку результаты анализа не должны были меняться при повороте поверхности или зависеть от того, под каким углом на нее смотрит конкретный наблюдатель. При выборе другого способа разбиения – например, на отрезки, имеющие одну и ту же длину в горизонтальном направлении – различные наблюдатели не смогли бы прийти к соглашению о том, какое именно направление следует принять за «горизонталь». Если же речь шла о том, имеют ли два соседних отрезка одну и ту же длину, подобных разногласий не возникало. Если связность учитывала это правило – сохраняя длину отрезков при перемещении от точки к точке – то все складывалось как нельзя лучше, и вопрос о том, является ли заданная траектория примером естественного движения, имел один и тот же ответ вне зависимости от конкретного наблюдателя.

Но что происходило, когда движение брошенного камня рассматривалось с учетом его движения не только в пространстве, но и во времени? Изобразить на клочке кожи его траекторию, выбрав определенное направление в качестве оси времени, мог кто угодно, но как прийти к соглашению насчет масштаба такой диаграммы? Отрезок времени, отделявший верхний край листка от нижнего, мог быть выбран совершенно произвольно: с равным успехом он мог занимать и один удар сердца, и одну смену, и целую жизнь.

Но допустим, что масштаб выбран. Что произойдет, если разделить траекторию камня на отрезки равной длины? Если бы Рои бросила в Нулевой пещере камень так, чтобы с ее точки зрения он преодолевал по одному размаху за каждое сердцебиение, траектория, которую бы она начертила на листке кожи, выглядела бы как наклонная линия. Если бы Зак при этом двигался в том же направлении и с той же скоростью, то с его точки зрения камень бы выглядел неподвижным, а значит для него траектория бы выглядела как линия, строго параллельная оси времени. Предположим, что спустя пять биений сердца камень налетает на препятствие. Длина линии Зака составила бы ровно «пять сердцебиений» с учетом выбранного масштаба рисунка. Линия Рои, с другой стороны, оказалась бы длиннее, поскольку занимала бы не только пять сердцебиений по оси времени, но еще и покрывала пять размахов пространства. Выводы обоих экспериментаторов должны были каким-то образом согласовываться друг с другом, но рассчитывать на то, что начертив свои диаграммы, они получат траектории одной и той же длины, было нельзя.

Что могло объединять обоих наблюдателей? Самым простым ответом, который удалось предложить команде, был интервал времени. Если поделить траекторию камня на отрезки, соответствующие равным интервалам времени, то количество отрезков, заключенных между начальной и конечной точками будет одинаковым для всех наблюдателей. Если бы удалось отыскать связность, которая учитывала эту схему, сохраняя интервал времени, соответствующий отдельному отрезку, дела, возможно, пошли бы на лад.

Именно эту идею команда опробовала в первую очередь. Они занялись поиском геометрии пространства-времени, которая удовлетворяла принципу Зака и имела связность, сохраняющую величину временных интервалов.

Решение заняло меньше одной смены. Полученная геометрия была симметрична относительно одной особой точки, в которой, вполне вероятно, находилось Средоточие. Естественные траектории включали в себя круговые орбиты с центром в Средоточии. Квадрат периода каждой из таких орбит оказался пропорционален кубу ее размера. А отношение гарм-сардового и шомаль-джонубного весов в точности равнялось трем. Вблизи Средоточия, вдали от Средоточия, всегда и везде – трем.