Антология реалистической феноменологии

Или возьмите закон ассоциации: a + (b + c) = (a + b) + c – закон, который, конечно, имеет некоторый смысл, и даже смысл величайшей важности, и речь здесь идет в конечном счете, разумеется, не о том, что знаки скобок могут быть расставлены различным образом. Скобка, тем не менее, имеет некоторое значение, и это значение должно быть доступно исследованию. Как знак она не стоит на той же самой ступени, что и знак = или знак +;; она не означает никакого отношения или действия, но есть указатель того же вида и ранга, какой мы находим в случае знаков препинания. Но благодаря этому указателю, указывающему на то, как в одном и в другом случае объединять и отделять знаки, изменяется значение всего выражения, и именно это изменение значения и его возможность требует понимания, сколько бы чужда ни была эта проблема математику. Это вопрос о смысле, и рядом с ним стоит вопрос о бытии;; т. е. необходимо, привести себя к созерцанию и к предельно очевидному постижению того, насколько правомерна эта аксиома [Ansetzung], может ли засвидетельствовать себя как значимое и коренящееся в сущности чисел то, что выражается законом a + b = b + a. Именно это соображение особенно чуждо математику. Он постулирует свои аксиомы, и в пределах различных систем это могут быть противоречащие друг другу аксиомы. Он принимает, например, в качестве аксиомы, что через точку, не лежащую на прямой, можно на той же самой плоскости провести одну и только одну прямую, которая не пересекала бы первую. Он мог бы также вначале постулировать, что через точку, не лежащую на прямой, можно провести несколько или же нельзя провести вообще ни одной прямой, и на этих аксиомах построить некоторую систему непротиворечивых в себе утверждений. Математик как таковой должен считать все эти системы равноценными;; для него есть только аксиомы и логически полная и непротиворечивая последовательность аргументаций, которые строятся на основании этих аксиом. Но эти системы не суть равноценны: есть, например, точки и прямые, даже если они реально и не существуют в мире. И мы можем в актах определенного вида привести эти геометрические фигуры к адекватному созерцанию. Но когда мы проделываем это, то мы постулируем, что через одну точку, не лежащую на прямой, на той же самой плоскости, действительно, может быть проведена одна прямая, которая не пересекается с первой, и ложно, что не может быть проведено ни одной прямой. Следовательно, либо в случае этой второй аксиомы под одними и теми же выражениями понимается нечто иное, либо речь идет о системе положений, которая строится на не наличествующей аксиоме, и которая как таковая, разумеется, также может иметь ценность и, в частности, математическую ценность. Если под точкой и прямой понимаются вещи, которые должны удовлетворять соответствующей системе аксиом, то возразить здесь нечего. Но отстранение от всякого материального содержания становится здесь особенно ясным.

Из своеобразия математики становится понятным особый тип только-математика, который достиг определенных результатов в этой дисциплине, но который навредил философии больше, чем то можно выразить в нескольких словах. Это тип, который только полагает аксиомы и доказывает исходя из них, и который вместе с тем лишился чувства предельного и абсолютного бытия. Он разучился видеть, он может уже только доказывать. Но именно тем, что его не заботит, должна заниматься философия;; поэтому и философия more geometrico, понимаемая в буквальном смысле, есть абсолютный абсурд. Напротив, только в философии математика может найти окончательное прояснение. В философии впервые проводится исследование фундаментальных математических сущностей и предельных законов, которые коренятся в этих сущностях. В силу этого только философия способна сделать полностью понятным пути математики, которая столь далеко удаляется от наглядного сущностного содержания, чтобы затем, в конце концов, вновь к нему вернуться. Первая задача для нас состоит, правда, в том, чтобы научиться здесь заново видеть проблемы, пробиться к предметному [sachlichen] содержанию через дебри знаков и правил, с которыми мы так превосходно научились обходиться. Об отрицательных числах, например, большинство из нас действительно задумывались только будучи детьми – тогда мы остановились перед чем-то загадочным. Но затем эти сомнения улеглись, по большей части на совершенно спорных основаниях. Сегодня, по-видимому, у многих почти исчезло сознание того, что числа хотя и имеются, однако противоположность положительных и отрицательных чисел покоится на искусственном установлении, основной закон и основание которого совсем непросто усмотреть – так же как непросто усмотреть, каким образом в гражданском праве устанавливается юридическое лицо.