Апология математики (сборник статей)

Другой пример – с тем же универсальным множеством. Поставим в соответствие данному объёму пространства вероятность того, что интересующее нас событие происходит именно в пределах этого объёма. Более общо, припишем некоторым множествам вероятность того, что событие происходит в одной из точек этого множества. Функция, относящая к множеству соответствующую вероятность, является мерой. Этот простой пример позволяет понять, почему вся современная теория вероятностей (следуя высказанному в начале 1930-х гг. предложению великого математика Колмогорова) имеет своим фундаментом теорию меры.

Мера есть функция, аргументами которой служат подмножества универсального множества. Не предполагается, что мера есть у всякого подмножества; те подмножества, у которых она есть, называются измеримыми. Скажем, в случае товара: при измерении его по стоимости не всякое собрание единиц этого товара можно считать товаром, имеющим стоимость. Даже газ должен поступать достаточно компактными объёмами; если мы, скажем, мысленно отберём в рассматриваемую часть каждую десятую молекулу газа, то полученное подмножество молекул будет слишком разреженным, чтобы признать его частью того самого газа – не в физическом, а в потребительском смысле.

В аксиоматиках метрики и меры участвовало помимо исходных (неопределяемых) понятий этих аксиоматик также и понятие действительного числа. Возможны два подхода к введению в рассмотрение действительных чисел. При одном подходе мы их строим (используя в качестве строительного материала натуральные числа), при другом – определяем аксиоматически. Если мы выбираем второй подход, то в систему аксиом как метрики, так и меры должны быть включены и аксиомы действительных чисел.

Заключительные замечания

Во всех рассмотренных нами системах аксиом свободно употреблялись понятия множества, функции и натурального числа. Иногда эти понятия были упрятаны внутрь других. Так, неоднократно использовавшееся понятие последовательности содержит внутри себя понятия натурального числа и функции: ведь последовательность – это не что иное, как функция, определённая на натуральном ряду. Мы не включали понятия множества, функции и натурального числа в наши списки исходных, неопределяемых понятий на том основании, что относили их к тому языку, на котором мы разговариваем. Точнее сказать, к логике этого языка. Однако пользование логикой – а лучше сказать, тем, что мы считаем логикой, – языка без каких-либо ограничений приводит к парадоксам. Удивляться этому особенно не приходится, потому что логика языка возникла и развивалась исходя прежде всего из бытовой практики, а потом уже её стали не вполне законно применять к сложным математическим образованиям.

Мы оказали бы дурную услугу читателю, призвав его усомниться в существовании натуральных чисел. Но всё же полезно задуматься над тем, чтó значит, что существует какое-нибудь очень большое число: например, число, превосходящее количество элементарных частиц в видимой Вселенной. А существование натурального ряда – т. е. совокупности всех натуральных чисел – вызывает ещё больше непростых философских вопросов.

Можно потребовать, чтобы и такие фундаментальные понятия математики, как понятия множества и натурального числа, определялись аксиоматически. Однако задача аксиоматического определения фундаментальных понятий таит в себе ловушки и опасности. Это уже совершенно другая и более сложная тема, относящаяся к компетенции математической логики.

Простейшие примеры математических доказательств

§ 1. Математика и доказательства

Даже незнакомый с математикой человек, взяв в руки книгу по математике, может, как правило, сразу определить, что эта книга действительно по математике, а не по какому-нибудь другому предмету. И дело не только в том, что там обязательно будет много формул: формулы есть и в книгах по физике, по астрономии или по мостостроению. Дело в том, что в любой серьёзной книге по математике непременно присутствуют доказательства. Именно доказуемость математических утверждений, наличие в математических текстах доказательств – вот что нагляднее всего отличает математику от других областей знания.

Первую попытку охватить единым трактатом всю математику предпринял древнегреческий математик Евклид в III в. до н. э. В результате появились знаменитые «Начала» Евклида. А вторая попытка состоялась только в XX в. н. э., и решился на неё французский математик Николя Бурбаки[137], в 1939 г. приступивший к изданию многотомного трактата «Начала математики». Вот какой фразой открывает Бурбаки свой трактат: «Со времён греков говорить "математика" – значит говорить "доказательство"».

Таким образом, эти два слова – «математика» и «доказательство» – объявляются почти синонимами.