Апология математики (сборник статей)

Вернёмся, однако, к математике. Математические доказательства повсеместно признаются эталоном бесспорности. Выражения вроде «я тебе докажу математически», встречающиеся в русской классической литературе, касаются доказательств, которые нельзя оспорить.

Но что же такое доказательство? Доказательство – это рассуждение, которое убеждает того, кто его воспринял, настолько, что он готов убеждать других с помощью этого же рассуждения. Так понимается доказательство всюду: и в истории, и в филологии, и в математике. Во избежание недоразумений и возможного возмущения просвещённых читателей (если таковые найдутся среди читающих этот текст) отметим: есть и другое понимание того, что такое доказательство. По Бурбаки, например, доказательство – это цепочка символов, организованная по определённым правилам. Мы обсудим это другое понимание в заключительном разделе нашего очерка. Полагаем, однако, что наше понимание не является чем-то оригинальным, а отражает то стандартное употребление слова «доказательство», которое имеет место и в средней, и в высшей школе. Те математические объекты, которые именует доказательствами Бурбаки, разумно называть формальными доказательствами, в отличие от содержательных, психологических доказательств, о которых мы здесь говорим. Формальные доказательства составляют предмет изучения математической логики. Заметим ещё, что, на наш взгляд, и Бурбаки не может избежать содержательных доказательств, ведь чтобы убедиться, что данная цепочка символов является формальным доказательством, требуется провести содержательное рассуждение, т. е. именно психологическое доказательство.

Отличие математического доказательства от доказательств в других науках состоит в том, что в математике порог убедительности значительно выше. Можно сказать, что математические и нематематические доказательства имеют разные «амбиции». Нематематические доказательства претендуют на то, чтобы убедить в следующем: доказываемое утверждение имеет место с подавляющей вероятностью, а предположение, что это утверждение ложно, невероятно. Математические доказательства претендуют на то, чтобы убедить в следующем: доказываемое утверждение имеет место с необходимостью, а предположение, что это утверждение ложно, невозможно. Так, уже отмечалось, что в приведённых выше примерах из истории и филологии оставалась возможность, пусть совершенно невероятная, что доказываемое утверждение ложно. И даже демонстрация нескольких доказательств, как того требовал Бахрушин, всего лишь повысила бы степень невероятности, но не превратила бы её в невозможность. В математических же доказательствах невероятность противоположного эффекта, т. е. допущения того, что доказанное утверждение неверно, заменяется на невозможность. Поэтому убедительность математических доказательств должна быть абсолютной, не оставляющей никакой возможности для противоположного суждения.

Предвидим протест или по меньшей мере удивление некоторых читателей. Как же так? Такое важное математическое понятие, как «доказательство», имеет столь нечёткое определение, да и вообще не определение, а описание, пояснение. На это у нас два возражения. Во-первых, даже в математике всё определить невозможно, ведь одни понятия определяются через другие, другие – через третьи и т. д. Но и этот процесс не может продолжаться бесконечно. Поэтому мы вынуждены где-то остановиться. Во-вторых, понятие доказательства не есть математическое понятие (подобное, скажем, понятию действительного числа или понятию многоугольника); по отношению к математике оно не внутреннее, а внешнее; оно принадлежит не математике, а психологии (и отчасти лингвистике). Однако невозможно представить себе современную математику без повсеместного использования этого понятия.

Можно ли предложить разумную классификацию всевозможных доказательств, т. е. убедительных рассуждений? Вряд ли. Тем более что доказательство, как правило, состоит из нескольких (иногда очень многих) этапов, и на каждом этапе применяется свой способ убеждения. Можно, однако, среди схем доказательства выделить несколько часто повторяющихся; ниже некоторые из таких схем будут изложены.

Чтобы не дезориентировать читателя, сделаем два предупреждения.

Предупреждение первое. Было бы глубоким заблуждением считать, что других методов доказательства не бывает. Да и само выделение схем достаточно условно. Ведь нередко бывает, что одна схема вклинивается в другую; скажем, внутри доказательства по индукции может встретиться доказательство от противного, и наоборот.