Апология математики (сборник статей)

Натуральный ряд – это, по определению, множество всех натуральных чисел. Сообразно сказанному есть два понятия натурального ряда: одно из них предполагает, что натуральный ряд начинается с ноля, другое – что с единицы.

Каждая из двух точек зрения на то, чтó понимать под терминами «натуральное число» и «натуральный ряд», имеет свои преимущества. Которую из них выбрать – дело вкуса. Но какую-то надо выбрать обязательно. Потому что невозможно ни говорить о доказательствах, ни тем более доказывать что-нибудь, не договорившись о значениях терминов. Чтобы не слишком уклоняться от школьной терминологии, мы будем начинать натуральный ряд с единицы. Впрочем, в некоторых из приводимых ниже примеров на тему индукции удобнее относить к натуральным числам и ноль. Желающих начинать натуральный ряд с ноля призываем слегка переделать последующее изложение метода индукции, а именно: в базисе индукции надо положить n = 0 вместо n = 1.

Теперь о слове «равно». Основное значение этого термина в математике таково: говорят, что два предмета равны, если они совпадают. Именно этот смысл вкладывается и в выражающий равенство символ =. Когда, например, пишут 3 + 5 = 8, то эту запись понимают как выражающую такое утверждение: предмет, обозначенный символом 3 + 5, совпадает с предметом, обозначенным символом 8. Казалось бы, никакое иное понимание и невозможно. К сожалению, возможно, и оно хорошо известно читателю. Это иное понимание появляется в школьном курсе геометрии. Там равными фигурами называют такие, которые могут и различаться, но совпадут после того, как одна из них путём перемещения будет совмещена с другой. Именно так понимается, скажем, равенство отрезков AB и EF или треугольников ABC и EFG. И эти равенства записывают в виде AB = EF и Δ АВС = Δ EFG, так что смысл знака = здесь не тот, какой был указан выше.

Более грамотно было бы называть фигуры, совпадающие при совмещении, конгруэнтными и использовать для записи конгруэнтности не знак равенства =, а некоторый специальный знак, например ≅. Однако, чтобы не усложнять изложения, мы не будем употреблять ни термина «конгруэнтный», ни знака ≅, а удовольствуемся школьной традицией (не такой уж, впрочем, и устойчивой, поскольку одно время в советских школах использовался именно термин «конгруэнтный»).

Итак, запись АВ = EF вовсе не означает (а должна бы!), что отрезки AB и EF совпадают. Но что-то всё же совпадает, а именно: их, отрезков, длины. Под психологическим давлением этого обстоятельства и длину отрезка AB нередко обозначают точно так же, как и сам отрезок, т. е. посредством символа AB. И можно встретить такую запись известного неравенства, связывающего стороны треугольника: АС < АВ + ВС. Но это уже не лезет ни в какие ворота, и в этом очерке длина отрезка AB будет обозначаться так, как ей и положено: |AB|.

§ 3. Доказательства методом перебора

Пример 1. Доказать, что среди целых неотрицательных чисел, меньших числа 420, нет других корней уравнения (x + 2008) (x – 3) (x – 216) (x – 548) = 0, кроме чисел 3 и 216.

Доказательство: Последовательно перебирая числа 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, …, 213, 214, 215, 217, 218, 219, …, 417, 418, 419 и подставляя их в уравнение, убеждаемся, что ни одно из них не обращает в ноль левую часть. Это есть типичное доказательство методом перебора.