Апология математики (сборник статей)

Чтобы понять, что это за выход, ещё раз осмыслим встающую перед нами проблему. Мы хотим рассуждать о некоторых понятиях, причём рассуждать совершенно точно. Но точности наших рассуждений мешает то обстоятельство, что эти понятия не имеют определений. Тогда поступим так. Попытаемся выписать основные свойства этих понятий, а именно те свойства, на которые будем опираться в наших рассуждениях. Дадим себе обещание не использовать в рассуждениях никаких иных свойств, кроме тех, которые внесены нами в список основных свойств. Каждый отдельный элемент списка, в котором фиксированы какие-то определённые свойства рассматриваемых понятий, будем называть аксиомой, сам же список – системой аксиом. Рассуждения же, которые не опираются ни на какие свойства понятий, кроме явно указанных в аксиомах, и есть те самые чисто логические рассуждения, которые упоминались в начале § 1.

Очевидно, что построению системы аксиом должно предшествовать составление перечня исходных, или неопределяемых, понятий. Надо подчеркнуть, что составление такого перечня во многих чертах произвольно и зависит от вкуса составителя. Например, можно взять за исходное понятие отрезка (как это, по существу, и делает Евклид) и с его помощью определять понятие прямой, а можно, напротив, взять за исходное понятие прямой (как это и делается в большинстве современных аксиоматических систем), а через него уже определять понятие отрезка. Говоря о трёх точках О, А, В некоторой прямой, мы определили выше понятие 'лежать по одну сторону от О' через понятие 'находиться между А и В'. А могли бы, наоборот, следующим образом определить второе понятие через первое: 'точка O находится между точками А и В' означает, что А и В не лежат по одну сторону от O. Таким образом, по желанию составителя системы аксиом геометрии в качестве исходного можно принять одно из двух понятий: 'находиться между' или 'лежать по одну сторону'.

Для своей системы аксиом геометрии Гильберт выбирает восемь исходных, или неопределяемых, понятий: точка, прямая, плоскость, отношение связи точки и прямой, отношение связи точки и плоскости, отношение «находиться между» (для точек), отношение конгруэнтности отрезков, отношение конгруэнтности углов. (В школьном курсе математики конгруэнтность геометрических фигур, в том числе отрезков и углов, называют обычно их равенством.) Список же своих аксиом он для удобства изложения разбивает на пять групп.

Аксиомы первой группы говорят о способах, которыми прямые и плоскости связываются, соединяются или сочетаются с точками. Поэтому их называют аксиомами связи, или аксиомами соединения, или аксиомами сочетания. Наглядно мы себе представляем, что значит, что какая-то точка лежит на какой-то прямой или на какой-то плоскости. Это соотношение между точкой А и прямой или плоскостью р словесно можно выразить по-разному: «А лежит на р», «р проходит через А», «А соединяется (сочетается) с р». Все эти взятые в кавычки обороты синонимичны, они выражают один и тот же факт. Таким образом, слова разные, а понятие одно и то же; его можно называть и 'соединяться', и 'сочетаться', и 'лежать на', и 'проходить через'.

В обычной, школьной, геометрии прямая рассматривается как множество точек. В аксиоматической геометрии прямые – это просто такие особые объекты, часть из которых связана (соединяется, сочетается и т. д.) с другими объектами, точками. Но каждой прямой отвечает множество точек, лежащих на этой прямой. Вместо того чтобы говорить длинно: «Точка А принадлежит множеству точек, лежащих на прямой р», – говорят короче: «Точка А принадлежит прямой р» (и эта фраза выражает то же, что и фраза «р проходит через А»). Аналогично фразу «Точка А принадлежит множеству точек, лежащих на плоскости π» сокращают до фразы: «Точка А принадлежит плоскости π» (и эта фраза выражает то же, что и фраза «π проходит через А»). Поэтому отношения связи называют также отношениями принадлежности, а аксиомы связи – аксиомами принадлежности.

‹…›

§ 15. Аксиомы метрики и аксиомы меры