Апология математики (сборник статей)

Кроме того, надо иметь в виду следующее. Текст Евклидовых «Начал», как и подавляющее большинство других древних текстов, не сохранился в виде рукописи, написанной самим автором. До наших дней дошли лишь рукописные копии, причём не с оригинального манускрипта, а с других рукописных копий. Древнейшая из сохранившихся копий относится ко второй половине IX в. Изготовление рукописных копий требовало достаточно высокой по тем временам математической квалификации, и эта высокая квалификация древних переписчиков имела свою оборотную сторону: иногда они «улучшали» и дополняли Евклида, особенно в части постулатов и аксиом. Поэтому некоторые исследователи полагают, что не все те аксиомы и постулаты, которые приводятся в современных изданиях «Начал», действительно присутствовали в исходном тексте Евклида. Кое-кто даже считает, что у Евклида вовсе не было аксиом второго списка (они-то и называются в переводах аксиомами), а из пяти аксиом первого списка (постулатов) Евклиду принадлежали лишь первые три. А некоторые публикаторы, оставляя в списке постулатов первые три, оставшиеся два переносят в аксиомы; они же добавляют в аксиомы ещё одну: «И если от неравных отнимаются равные, то остатки будут не равны». Всего тогда в списке оказывается 12 аксиом, среди которых аксиома о параллельных – предпоследняя, отчего её иногда называют одиннадцатой аксиомой.

Первое печатное издание «Начал» Евклида вышло в Венеции в 1482 г. в переводе на латинский язык. Наиболее авторитетным считается лейпцигское издание «Начал» (как на языке оригинала, т. е. на греческом, так и на латыни) 1883–1888 гг. Оно содержит реконструкцию первоначального текста, которую предпринял в 1890-х гг. датский филолог Иохан Людвиг Гейберг (Johan Ludvig Heiberg, 1854–1928)[134]. Для своей реконструкции он использовал восемь манускриптов, датируемых IX–XI вв. Тот русский перевод Мордухай-Болтовского, на который мы ссылались в начале параграфа, сделан именно с издания Гейберга.

Мы привели постулаты и аксиомы Евклида по двум причинам. Во-первых, интересно посмотреть, как формулировали свои мысли математики далёкого прошлого. Во-вторых, поучительно сравнить формулировки Евклида с теми современными формулировками аксиом геометрии, которые будут приведены ниже[135].

Но сперва несколько замечаний о Евклидовых формулировках.

1. Принято считать, что, когда Евклид говорит о равенстве геометрических фигур, он имеет в виду их равновеликость. А девятая аксиома Евклида отражает тот факт, что через две точки может проходить только одна прямая, т. е. что для двух прямых р и q невозможно расположение, показанное ниже на рисунке (если бы такое расположение было возможно, Евклид сказал бы, что прямые р и q «содержат пространство», а именно то «пространство», которое выделено «заливкой» на рисунке).

Некоторые из аксиом (например, восьмая) не используются Евклидом в его последующем изложении.

Напротив, изложение Евклида опирается на многие положения, не входящие в списки постулатов и аксиом. Так, бросается в глаза, что в эти списки не входят аксиомы стереометрии, хотя теоремы стереометрии в трактате Евклида имеются. Но даже если ограничиться теоремами планиметрии, то выясняется, что в их доказательствах Евклид часто опирается не только на аксиомы, но и на непосредственную геометрическую наглядность. Например, в аксиомах Евклида ничего не говорится о таких важных геометрических понятиях, как «располагаться между», 'располагаться по одну сторону' и т. п., хотя использование этих понятий необходимо при доказательстве многих теорем.

Некоторые формулировки при внимательном анализе оказываются неполными или непонятными. Но, может быть, всё дело в том, что мы пока ничего не сказали об определениях Евклида? Может быть, если принять во внимание определения, формулировки станут полными и понятными? Обратимся к определениям.

Как мы отметили ранее, трактат Евклида начинается с определений. Вот некоторые из них (мы сохраняем нумерацию источника).

1. Точка есть то, что не имеет частей.

2. Линия же – длина без ширины.

3. Прямая линия есть та, которая равно расположена к точкам на ней.

4. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.

5. Плоская же поверхность есть та, которая равно расположена по отношению к прямым на ней.

С современной точки зрения, это всё не определения таких понятий, как 'точка', 'линия', 'прямая', 'поверхность', 'плоскость', а всего лишь пояснения этих понятий.

Впрочем, у Евклида встречаются и такие формулировки, которые следует признать определениями и с современной точки зрения. Таково, например, его десятое определение, в котором определяются понятия 'прямой угол' и 'перпендикуляр':

10. Когда же прямая, восставленная на другой прямой, образует рядом [смежные] углы, равные между собой, то каждый из [этих] равных углов есть прямой, а восставленная прямая называется перпендикуляром к той, на которой она восставлена.