Апология математики (сборник статей)

Необходимость аксиом была осознана ещё древними греками. Самое знаменитое сочинение мировой математики – написанный в III в. до н. э. древнегреческим математиком Евклидом и охватывающий всю современную ему математику трактат «Начала» – начинается так. Сперва идут определения, а сразу вслед за ними – аксиомы. Аксиомы у Евклида разбиты на два списка. Первый список состоит из пяти предложений, второй – из девяти. Лишь аксиомы второго списка названы в русском переводе трактата аксиомами, аксиомы же первого списка названы постулатами. Говоря о древних текстах, всегда надо точно указывать издание; вот издание, на которое мы здесь ссылаемся: Начала Евклида / Пер. с греч. Д. Д. Мордухай-Болтовского. Книги I–VI. – М.; Л.: Гостехиздат, 1948. Приведём полностью постулаты и аксиомы из этого издания. Слова в квадратных скобках добавлены нами для ясности.

Постулаты

Допустим:

1. Что из всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.

2. И что ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.

3. И что из всякого центра и всяким раствором [циркуля] может быть описан круг.

4. И что все прямые углы равны между собой.

5. И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, [в сумме] меньшие двух прямых [углов], то, неограниченно продолженные, эти прямые встретятся с той стороны, где [внутренние] углы [в сумме] меньше двух прямых [углов].

Аксиомы

1. Равные одному и тому же равны между собой.

2. И если к равным прибавляются равные, то и целые [т. е. суммы] будут равны.

3. И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.

4. И если к неравным прибавляются равные, то целые будут не равны.

5. И удвоенные одного и того же равны между собой.

6. И половины одного и того же равны между собой.

7. И совмещающиеся друг с другом равны между собой.

8. И целое больше части.

9. И две прямые не содержат пространства.

На современном языке пятый постулат Евклида можно сформулировать так:

При пересечении двух прямых третьей, секущей, образуются четыре внутренних угла. Если сумма двух из них, расположенных по одну сторону от секущей, меньше 180°, то эти две прямые пересекаются и притом по ту же сторону от секущей.

Возникает естественный вопрос, почему одни предложения названы постулатами, а другие – аксиомами. Вопрос этот достаточно сложен. На примере приведённых двух списков можно увидеть некое различие между значениями слов «аксиома» и «постулат», но различие столь тонкое, что нам для целей нашего изложения нет нужды принимать его во внимание; к тому же это различие не всегда ясно прослеживается. В современном языке термины «аксиома» и «постулат» считаются синонимами. Например, пятый постулат Евклида часто называют аксиомой о параллельных. (Строго говоря, аксиомой о параллельных называется в наши дни другое утверждение, а именно: «Дана прямая и точка вне её; не существует двух различных прямых, проходящих через данную точку и параллельных данной прямой». Это утверждение равносильно пятому постулату: приняв это утверждение, можно доказать пятый постулат, а приняв пятый постулат, можно доказать сформулированное утверждение. Поэтому пятый постулат рассматривают как одну из форм аксиомы о параллельных.) Мы тоже будем считать термины «аксиома» и «постулат» синонимами, а если и будем называть одни формулировки Евклида постулатами, а другие – аксиомами, то только потому, что за ними исторически закрепилось такое название.