Апология математики (сборник статей)

В [математическом] анализе понятие функции вводится следующим образом. Пусть X – некоторое множество на числовой прямой. Говорят, что на этом множестве определена функция f, если каждому числу x ∈ X поставлено в соответствие определённое число y = f (x). При этом X называется областью определения данной функции, а Y – совокупность всех значений, принимаемых этой функцией – её областью значений.

Если теперь вместо числовых множеств рассматривать множества какой угодно природы, то мы придём к самому общему понятию функции, а именно: пусть M и N – два произвольных множества. Говорят, что на M определена функция f, принимающая значения из N, если каждому элементу x ∈ M поставлен в соответствие один и только один элемент из N. Для множеств произвольной природы (как, впрочем, и в случае числовых функций) вместо термина «функция» часто пользуются термином «отображение», говоря об отображении одного множества в другое[127].

Как мы уже говорили, приведённые (и широко распространённые подобные им[128]) формулировки оставляют само понятие функции неопределяемым. Здесь определяется не что такое функция, а лишь некоторое правило употребления этого термина. Что же такое функция и когда о двух функциях можно говорить как об одной и той же функции – это остаётся неопределённым. Разумеется, такая точка зрения вполне правомерна[129].

Однако правомерно и стремление определить самоё функцию (причём не используя понятия переменной величины). Попытки определить функцию как правило или закон[130], посредством которого для каждого элемента одного множества указывается некоторый элемент второго, приводят к потребности уточнить, что такое правило или закон. Такие уточнения приводили до сих пор к слишком узким классам функций, как, например, классу вычислимых функций, когда слово «закон» уточняется посредством понятия алгоритма. Попытки же найти слову 'закон' максимально общее уточнение оказываются – и, по-видимому, неизбежно (во всяком случае, при наших сегодняшних представлениях) – связанными с необходимостью максимально широко и одновременно совершенно отчётливо очертить язык (или языки) записи законов, что вряд ли когда-нибудь удастся; считать же понятие «закон» первичным и неопределяемым вряд ли целесообразно.

Наиболее законченное представление о функции заключается в рассмотрении её как соответствия. «Функция… определённая на множестве M, есть не что иное, как просто соответствие f различным элементам множества M некоторых элементов (различных или тождественных) множества N»[131]. Или более точно: «В самом общем смысле (однозначная) функция… это соответствие, в силу которого каждому элементу x некоторого множества X отвечает единственный элемент y некоторого множества Y»[132]. Если понимать соответствие так, как мы условились выше его понимать, и считать, что в приведённой только что формулировке X и Y служат областью отправления и областью прибытия соответствия, то станет очевидным, что эта формулировка выделяет функцию – среди прочих соответствий – посредством следующего требования: каждому элементу области отправления должен соответствовать ровно один элемент области прибытия. Именно такое определение функции – как соответствия (понимаемого как тройка множеств), при котором каждому элементу области отправления соответствует ровно один элемент области прибытия – принято в «Началах математики» Н. Бурбаки[133].

Можно теперь сделать шаг в сторону обобщения, потребовав меньшего, а именно потребовав, чтобы в случае функции каждому элементу области отправления соответствовало не более одного элемента области прибытия. Так, если рассматривать функции действительного переменного, т. е. функции, у которых область отправления и область прибытия совпадают каждая с множеством действительных чисел:

1. Функция y = x² каждому действительному числу a ставит в соответствие ровно одно действительное число a₂;

2. Функция y = √x каждому неотрицательному действительному числу a ставит в соответствие ровно одно действительное число √a, а любому отрицательному действительному числу ничего не ставит в соответствие.