Апология математики (сборник статей)

Само слово «функция» встречается уже в школьном курсе математики. Однако расшифровка этого слова оказывается не таким простым делом, поскольку, как можно заметить, слово «функция» употребляется в несколько различающихся смыслах.

В обычной, классической, математике известны два основных направления, по которым происходит осмысление понятия функции[119]. Первое направление – исторически более раннее и, пожалуй, даже сейчас более распространённое – ориентировано в основном на традиционно трактуемые технические и естественно-научные приложения математики и опирается на понятие переменной величины; второе – более современное и более точное – не использует этого понятия вовсе (в то же время второе направление способно обслужить как все традиционные приложения математики, так и ещё много новых, возникших за последнее время).

Первое направление. Именно первое направление отражено, например, в Большой Советской Энциклопедии (3-е изд.), где статья «Функция»[120] начинается со следующей дефиниции: «Функция – одно из основных понятий математики, выражающее зависимость одних переменных величин от других».

В рамках данного направления, в свою очередь, можно выделить два подхода, первый из которых (опять-таки более ранний и, возможно, более распространённый) скорее соответствует точке зрения физиков, второй – точке зрения математиков[121].

Первый подход состоит в истолковании функции как переменной величины. Именно такое истолкование принято в средней школе. «Та переменная величина, числовые значения которой изменяются в зависимости от числовых значений другой, называется зависимой переменной, или функцией этой другой переменной величины»[122]. Подобное определение функции принято и в ряде авторитетных вузовских учебников[123], и в Большой Советской Энциклопедии, где следующая за дефиницией фраза в только что упоминавшейся статье «Функция» гласит: «Если величины x и y связаны так, что каждому значению x ответствует определённое значение y, то y называют (однозначной) функцией аргумента x». Как видно из исторического обзора в конце названной статьи, аналогичные формулировки встречались ещё в XIX в. и восходят к ещё более ранним представлениям.

Второй подход состоит в истолковании функции как закона, но также связанного с понятием переменной величины (и с разделением переменных величин на «зависимые» и «независимые»): «Закон (правило), по которому значениям независимых переменных отвечают (соответствуют) значения рассматриваемой зависимой переменной, называется функцией»[124].

Приведённые формулировки нельзя, конечно, считать отчётливыми. Для их уточнения требуется предварительное создание достаточно нерасплывчатой системы представлений о переменных величинах. Создание такой системы если и возможно, то, по-видимому, лишь на основе использования в качестве исходных таких понятий, как 'величина' и 'изменение во времени'[125], т. е. вне рамок теоретико-множественной концепции.

Второе направление. Принципиально иной путь связан с отказом от переменных величин. Он приводит к более широкому понятию функции, поскольку разрешает рассматривать функции не только от «величин» (заметим вскользь, что попытки уточнить, что такое «величина вообще», приводят к значительным трудностям). В рамках этого второго направления можно опять-таки различить несколько подходов, а точнее, по меньшей мере три. Первый подход определяет не самоё функцию, а лишь, так сказать, «функциональную ситуацию», т. е. ситуацию, при которой разрешено говорить, что имеет место функция; второй подход трактует функцию как правило или закон, третий – как соответствие.

Первый подход характерен для руководств по теории множеств и общей теории функций. Вот, например, что говорит о функции П. С. Александров в уже цитировавшейся нами книге[126]:

Если каким-нибудь образом каждому элементу x некоторого множества X поставлен в соответствие определённый элемент y некоторого множества Y, то мы пишем f: X → Y и говорим, что имеется отображение множества X во множество Y или функция f, аргумент которой пробегает множество X, а значения принадлежат множеству Y.

А. Н. Колмогоров и С. В. Фомин пишут: