Апология математики (сборник статей)

Понятие кортежа несколько менее популярно, чем понятие множества, но почти столь же фундаментально. Так же как и понятие множества, оно заимствуется непосредственно из опыта (хотя это понятие и можно формально определить через понятие множества, но лишь весьма искусственно); сам термин «кортеж», как и термин «множество», имеет ряд синонимов, ничего не разъясняющих по существу, но служащих некоторым психологическим подспорьем для понимания. Такими синонимами в данном случае являются «упорядоченный набор», «конечная последовательность», «вектор»[116]. Вот что пишет, например, о понятии 'вектор' видный английский психиатр, более известный в России как один из пионеров кибернетики У. Р. Эшби (у которого это понятие полностью совпадает с нашим понятием 'кортеж'):

…Предположим, что радиопередача должна дать нам отчёт о «состоянии» (в определённый момент времени) проходящего сейчас марафонского бега. До этого она должна сообщить положение каждого бегуна в данный момент времени. Множество этих положений определит «состояние» бега. Итак, состояние бега в целом задаётся различными состояниями (положениями) различных бегунов, взятыми одновременно. ‹…›

Такое состояние есть вектор, т. е. составной объект, имеющий определённое число компонентов, или составляющих. Удобно записывать его в виде (a₁, a₂, …, a_n); это означает, что первая составляющая имеет значение a₁, вторая – значение a₂ и т. д.

…«Положение» корабля в любой момент не может быть описано одним числом; необходимы два числа: широта и долгота. Таким образом, «положение» есть вектор с двумя составляющими[117].

Существенно подчеркнуть следующее:

1. Составляющие вектора стоят на определённых местах, причём указано, какое место является первым, какое – вторым и т. д. (бегунов нумеруют; относительно координат договариваются, какую из них – широту или долготу – указывать первой);

2. Составляющие, стоящие в векторе на разных местах, могут совпадать (два бегуна могут иметь одинаковое положение; широта и долгота, на которых находится корабль, могут также оказаться одинаковыми – если указывать их просто числами со знаком «плюс» или «минус», не прибегая к таким обозначениям, как, скажем, «западная долгота»).

Часто вместо термина «вектор» употребляют термин «кортеж», вместо термина «компонент» – термин «компонента», а записывают кортеж в угловых или круглых скобках:

〈a₁, a₂, …, a_n〉 или (a₁, a₂, …, a_n).

Вот ещё примеры кортежей: можно говорить о кортеже автомобилей в церемониальной процессии, о кортеже букв в слове, о кортеже слов во фразе, о кортеже фраз в абзаце, о кортеже абзацев в тексте, о кортеже азотистых (пуриновых и пиримидиновых) оснований в каждой из двух «нитей» молекул дезоксирибонуклеиновой кислоты. Знакомые, которые последовательно встретились вам сегодня на улице (при условии, что никакие двое знакомых не появлялись одновременно), также образуют кортеж. Во всех этих примерах, кроме первого, компоненты кортежа, стоящие на разных местах, могут совпадать. Кортежи с несовпадающими элементами суть не что иное, как рассматриваемые в комбинаторике размещения.

Кортеж с двумя компонентами называют парой, с тремя – тройкой и т. д.

Соответствие

Чтобы подойти к определению математического понятия соответствия, начнём с примеров употребления этого понятия.