Апология математики (сборник статей)

Что такое множество? Мы не станем доискиваться ответа на этот вопрос, потому что понятие множества является столь первоначальным, что затруднительно, по крайней мере на сегодняшний день, определить его при помощи более простых понятий.

Читателя это обстоятельство не должно удивлять. Действительно, когда некоторое понятие P определяется при помощи более простого понятия D, то само это понятие D также нуждается в определении посредством более простого понятия C, а оно, в свою очередь, нуждается в определении посредством ещё более простого понятия B и т. д. Таким образом, в конце концов мы должны будем прийти к столь первоначальному понятию А, которое не удаётся определить с помощью более простых понятий; всё, что можно здесь сделать, – это только разъяснить на ряде примеров смысл такого понятия А.

Итак, мы не станем искать определения слова «множество». Можно, разумеется, было бы сказать, что множество есть «собрание», «коллекция», «класс», «система», «семейство», «комплекс», «ансамбль» и т. д. Но такая замена одного слова другим никогда не может дать самоё идею множества тому, кто раньше не приобрёл её каким-нибудь образом. Поэтому мы предпочитаем обратиться к примерам, разъясняющим смысл слова «множество». Понимая под этим словом совокупность, составленную из каких-нибудь предметов, мы можем говорить о множестве всех букв на данной странице, о множестве всех атомов серебра в данной монете, о множестве всех корней данного уравнения, о множестве всех положительных чисел, о множестве всех многочленов, о множестве всех непрерывных функций, о множестве всех точек на данной окружности, о множестве всех углов, имеющих иррациональное значение синуса, и т. д.

Предметы, составляющие данное множество, называются его элементами[114].

И далее:

Из приведённых примеров видно, что элементами множества могут быть самые разнообразные предметы: буквы, атомы, числа, функции, точки, углы и т. д. Отсюда с самого начала ясна чрезвычайная широта теории множеств и её приложимость к очень многим областям знания (математике, механике, физике)[115].

Надо иметь в виду, что список областей знания, приведённый в скобках Н. Н. Лузиным, не является не только исчерпывающим, но даже достаточно представительным; этот список, по существу, мог бы состоять из всех областей знания.

Кортеж