Апология математики (сборник статей)

Меньше всего, однако, мы хотели бы создать впечатление, что Евклид и другие древние авторы заслуживают лишь критики или снисходительного похлопывания по плечу: вот, дескать, какие у них неточные и примитивные формулировки, только в отдельных случаях поднимающиеся до нашего просвещённого уровня! Совсем наоборот, достойно удивления и восхищения то обстоятельство, что более двух тысяч лет назад мыслящие люди ставили перед собою задачу заложить логический фундамент математики (и блестяще решили эту задачу!). Этот факт служит опровержением известного тезиса, что движущей силой развития науки являются исключительно практические потребности, ведь и строгость, и само содержание трактата Евклида далеко превосходили практические потребности того времени. Что же касается формулировок, которые кажутся нам сейчас странными, расплывчатыми, устаревшими, то такими же (или даже худшими) покажутся, надо думать, современные формулировки нашим потомкам, причём не через две тысячи лет, а много раньше, потому что человеческая цивилизация эволюционирует с ускорением.

§ 3. Современный подход к аксиоматизации геометрии: аксиоматика Гильберта

В названии этого параграфа два учёных слова – «аксиоматика» и «аксиоматизация». Аксиоматика, или аксиоматическая система, – это то же самое, что система аксиом. А аксиоматизация какой-либо теории – это процесс создания аксиоматики для этой теории.

Только что мы познакомились с древнейшей аксиоматической системой – системой геометрических аксиом (куда мы включаем и постулаты!) Евклида. Посмотрим теперь, как устроены современные системы аксиом геометрии. Мы сделаем это на примере наиболее известной из таких систем. Она была создана на рубеже XIX и XX вв. великим немецким математиком Давидом Гильбертом и называется поэтому системой аксиом Гильберта. На этом примере мы сможем увидеть и проанализировать многие свойства, характерные для аксиоматических систем вообще.

Чтобы устройство системы аксиом Гильберта, да и любой системы аксиом геометрии было более понятным, сделаем важное предварительное замечание. В аксиомах геометрии встречаются те или иные геометрические понятия, такие, например, как 'угол'. Чтобы понимать смысл аксиомы, мы должны иметь представление о смысле использованных в аксиомах понятий, говоря попросту, понимать, чтó эти понятия означают. Но как можно составить представление о том или ином понятии? Есть два основных способа, один из которых мы условно назовём наглядным, а другой, столь же условно, – дефиниционным (от лат. definitio – определение).

При наглядном способе понятие усваивается на примерах, при дефиниционном – с помощью определений. Скажем, усвоение понятий 'стол' и 'корова' происходит на основе того, что человеку показывают достаточное количество столов и коров. Таким же наглядным способом могут усваиваться и понятия, выражающие свойства, такие, например, как 'металлический' или 'фиолетовый': для этого нужно предъявить достаточное количество металлических предметов и предметов фиолетовой окраски. Аналогичным образом человек обучается понятиям, выражающим положение в пространстве одних предметов относительно других, таких как 'слева от', 'справа от', 'спереди', 'сзади', 'над', 'под', 'на', 'в', 'между' и т. п.

А вот представление о понятиях «металлический стол» или «фиолетовая корова» можно получить и не прибегая к примерам (в случае «фиолетовой коровы» это было бы и затруднительно). Здесь годится способ дефиниционный. Понятия 'металлический стол' и 'фиолетовая корова' можно не показать, а определить: металлический стол – это такой стол, который является металлическим; фиолетовая корова – это такая корова, которая является фиолетовой.