Апология математики (сборник статей)

Доказательство Аппеля и Хакена продолжало вызывать сомнения до конца XX в. Вот что пишет Робин Томас, автор упомянутой статьи [33]:

[…] Трудности с доказательством Аппеля и Хакена можно уложить в два пункта:

1. Часть доказательства основана на использовании компьютера и не может быть проверена вручную;

2. Даже та часть, для которой ручная проверка предполагается возможной, не подвергалась, насколько мне известно, независимой проверке.

Далее Р. Томас указывает, что он и трое его коллег (N. Robertson, D. P. Sanders, P. Seymour) пытались проверить доказательство Аппеля и Хакена, но вскоре сдались и поняли, что разумнее разработать собственное доказательство. Что они и сделали. Доказательство четырёх авторов следует основным идеям Аппеля и Хакена и не устраняет трудности (1), но в значительной мере ликвидирует трудность (2), будучи гораздо более проверяемым в своей некомпьютерной части. Тем не менее и это новое доказательство вызывает скептицизм. Вот что пишет о нём А. В. Самохин, завершая свою статью [34]:

Компьютерная часть всё ещё остаётся скорее предметом веры. Ведь даже проверка распечаток всех программ и всех входных данных не может гарантировать от случайных сбоев или даже от скрытых пороков электроники (вспомним, что ошибки при выполнении деления у первой версии процессора Pentium были случайно обнаружены спустя полгода после начала его коммерческих продаж – кстати, математиком, специалистом по теории чисел). По-видимому, единственный способ проверки компьютерных результатов – написать другую программу и для другого типа компьютера. Это, конечно, совсем не похоже на стандартный идеал дедуктивных рассуждений, но именно так осуществляется проверка утверждений во всех экспериментальных науках. Из которых математика, стало быть, исключена напрасно.

Создаётся впечатление, что с развитием математики (и появлением всё более и более сложных и длинных доказательств) доказательства теряют своё главное свойство – свойство убедительности. Непонятно, что же тогда остаётся от доказательства, ведь убедительность является их свойством по определению. Кроме того, с усложнением доказательства возрастает элемент его субъективности. Конечно, формальное доказательство объективно. Но, во-первых, формальными доказательствами обладают не сами суждения, а их выражения, записи в формализованных языках. Во-вторых, проверка утверждения, что данный текст является формальным доказательством, хотя и осуществляется алгоритмически, может при объёмистом тексте вызвать значительные практические трудности.

Большие доказательства начинают жить по каким-то своим макроскопическим законам. При чрезмерном возрастании объёма доказательства расплывается само представление о доказательстве, подобно тому как в «большом» расплывается понятие о натуральном числе (ещё раз отсылаем читателя к статье П. К. Рашевского [16]).

Получается, что, хотя все доказательства должны по определению быть убедительными, одни из них убедительнее других, т. е. как бы являются доказательствами в большей степени, чем другие. Возникает нечто вроде градации доказательств по степени доказательности – явление, которое, конечно, в корне противоречит первоначальным представлениям об одинаковой непреложности всех доказательств. Но ведь и математические истины допускают нечто вроде такой градации. Каждое из следующих трёх утверждений: «2 · 2 = 4», «17¹⁴ > 31¹¹», «300! > 100³⁰⁰» – истинно. Однако мы говорим: «Верно, как 2 · 2 = 4», но не говорим: «Верно, как 17¹⁴ > 31¹¹» или «Верно, как 300! > 100³⁰⁰».

7. Можно ли сделать математику понятной?

Математическую теорию можно считать совершенной только тогда, когда ты сделал её настолько ясной, что берёшься изложить её содержание первому встречному.

Давид Гильберт[168]