Апология математики (сборник статей)

Если бы излагаемая тема имела только педагогическое значение, мы бы не останавливались на ней так подробно в сочинении философского характера. Однако тема выходит за рамки педагогики, смыкаясь с вопросом об онтологической природе математических сущностей. Вопрос же этот, как и всякий разумный теоретический вопрос, имеет прикладное значение – в данном случае в порядке обратной связи педагогическое. В самом деле, если математическое понятие имеет сущность, отдельную от воплощения в словесном определении или формуле, то можно надеяться на лучшее понимание этой сущности путём демонстрации различных её проявлений (а не только формулировки).

Чтобы не быть голословными, приведём пример. В учебном пособии [25, с. 71–72] приведена формула, определяющая некое математическое понятие – так называемый конус Кларка. Сформулировав определение, авторы пишут: «Однако с первого взгляда невозможно понять ни свойств конуса Кларка, ни самого смысла его формального определения». И дальше они сперва приводят эвристические соображения, позволяющие уяснить суть понятия конус Кларка, а затем переводят эти соображения на язык нестандартного анализа. Здесь можно уловить мысль, что понятие конуса Кларка существует как бы само по себе; определение же в виде формулы – лишь один из способов (и не наиболее удобный) постижения этого понятия, а для лучшего постижения полезны описания вроде «результаты разглядывания множества в микроскоп» [25, с. 86]. Независимо от того, так ли это на самом деле, представляется плодотворной следующая рабочая гипотеза: подлинно глубокое математическое понятие или математическое утверждение должно быть в своей сути просто. И тогда есть надежда, что оно окажется понятным (или, лучше сказать, понятым): ведь к простому легче привыкнуть, а мы не знаем иного толкования для «понять», чем «привыкнуть».

Литература

1. Маркс К., Энгельс Ф. Соч. – 2-е изд. – Т. 20. – М.: Госполитиздат, 1961.

2. Пуанкаре А. О науке / Пер. с фр. под ред. Л. С. Понтрягина. – М.: Физматлит, 1983. – 560 с.

3. Гильберт Д. Основания геометрии / Пер. с нем. И. С. Градштейна под ред. П. К. Рашевского. – М.; Л.: Гостехиздат, 1948. – 491 с.

4. Нейгебауэр О. Лекции по истории античных математических наук. Т. 1: Догреческая математика. – М.; Л.: ОНТИ, 1937. – 243 с.

5. Толковый словарь русского языка / Под ред. Д. Н. Ушакова. Т. 2. – М.: Гос. изд-во иностр. и нац. словарей, 1938. – Стлб. 832.

6. Бурбаки Н. Теория множеств / Пер. с фр. Г. Н. Поварова и Ю. А. Шихановича; Под ред. В. А. Успенского. – М.: Мир, 1965. – 455 с.

7. Чёрч А. Введение в математическую логику / Пер. с англ. B. C. Чернявского под ред. В. А. Успенского. – М.: Изд-во иностр. лит., 1960. – 485 с.

8. Hornby A. S., Parnwell Е. С. An English-Reader's Dictionary. – L.: Oxford University Press, 1959. 511 p.

9. Юшкевич А. П. История математики в средние века. – М.: Физматгиз, 1961. – 448 с.

10. Потоцкий М. В. О педагогических основах обучения математике: Пособие для учителей. – М.: Учпедгиз, 1963. – 200 с.

11. Горский Д. Определение // Философская энциклопедия. Т. 4. – М.: Сов. энциклопедия, 1967. – С. 150–152.

12. Успенский В. А. Предисловие // Математика в современном мире. – М.: Мир, 1967. – С. 5–11.

13. Божич С. П. О способах истинностной оценки естественно-научного высказывания // Логика и эмпирическое познание. – М.: Наука, 1972. – С. 243–255.

14. Изоморфизм // Большая Советская Энциклопедия. – 3-е изд. – Т. 10. – М.: Сов. энциклопедия, 1972. – С. 98.

15. Демидов С. С. К истории аксиоматического метода // История и методология естественных наук. Вып. 14: Математика. Механика. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1973. – С. 74–91.

16. Рашевский П. К. О догмате натурального ряда // Успехи математических наук. 1973. Т. 28. Вып. 4 (172). С. 243–246.

17. Appel K., Haken W. Every planar map is four colorable // Bulletin of the American Mathematical Society. 1976. Vol. 82. № 5. Pp. 711–712.

18. Appel K., Haken W. Every planar map is four colorable. Part I: Discharging // Illinois Journal of Mathematics. 1977. Vol. 21. № 3. Pp. 429–490.

19. Appel K., Haken W. Every planar map is four colorable. Part II: Reducibility // Illinois Journal of Mathematics. 1977. Vol. 21. № 3. Pp. 491–567.

20. Appel K., Haken W. The solution of the Four-Color-Map problem // Scientific American. 1977. Vol. 237. № 4. Pp. 108–121.

21. Успенский В. А. Теорема Гёделя о неполноте. – М.: Физмат-лит, 1982. – 111 с.

22. Плиско В. Е. Теорема // Математическая энциклопедия. Т. 5. – М.: Сов. энциклопедия, 1985. Стлб. 334–335.

23. Толстиков А. В. Ферма теорема // Математическая энциклопедия. Т. 5. – М.: Сов. энциклопедия, 1985. – Стлб. 605–608.

24. Козырев В. П., Юшманов С. В. Теория графов (Алгоритмические, алгебраические и метрические проблемы) // Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика. 1985. Т. 23. С. 68–117.