Апология математики (сборник статей)

Аксиомы H6–H10 гарантируют счётную бесконечность области истинности свойства Q. В самом деле, аксиомы H6 и H7 означают, что элемент 0Q принадлежит области истинности свойства Q, а операция «'» не выводит за пределы этой области. Аксиомы H8 – H10 напоминают аксиомы Пеано I–III; их можно было бы назвать «аксиомами Пеано» для области истинности свойства Q. Эта область истинности, следовательно, представляет собою один из натуральных рядов (со строчной буквы, разумеется). Поэтому она, эта область, счётно-бесконечна.

Аксиома Н11 (последняя) утверждает нечто о произвольном надмножестве области истинности свойства Q; в аксиоме это надмножество фигурирует в качестве области истинности свойства W. А именно: H11 утверждает, что всякое такое надмножество находится во взаимно однозначном соответствии либо с носителем модели, либо с областью истинности свойства Q. В первом случае оно континуально, во втором – счётно-бесконечно. Соответствие, о котором идёт речь, представлено функцией φ, которая взаимно однозначно отображает область истинности свойства W либо на весь носитель, либо на область истинности свойства Q.

Математика языка

[170]

Правильно говорить на каком-либо языке, в частности на русском, можно, конечно, и не зная математики. Но вот для того, чтобы дать языку научное описание, математика оказывается полезной, а в XXI в., пожалуй, что и необходимой. Посмотрите на эту книгу[171]. Она называется «Математические методы в лингвистике». Даже вкратце обозреть её содержание, конечно, невозможно. Но можно обратить внимание на её толщину. Издана она известным издательством Kluwer и является наглядным свидетельством того, сколь серьёзно сейчас в мире понимается связь математики с лингвистикой.

Попробуем уловить эту связь на конкретных примерах.

Все знают, что в русском языке шесть падежей: именительный, родительный, дательный, винительный, творительный, предложный. Такова традиция. Этому учат в школе. Поэтому эти шесть падежей будем именовать школьными или традиционными.

Когда слово меняет свой падеж, происходит изменение его формы; изменение, в частности, может состоять и в том, что форма слова остаётся прежней: у слова кровать, например, совпадают формы именительного и винительного, а у слова кофе – вообще все формы. Изменение форм данного слова по всем падежам называется его склонением; обычно термином «склонение» обозначают изменение слова не только по падежам, но и по числам, но мы для простоты «забудем» на некоторое время о существовании множественного числа и будем рассматривать слова лишь в единственном числе. Вот, например, склонение слова сахар: им. п. сахар, род. п. сахара, вин. п. сахар, дат. п. сахару, тв. п. сахаром, предл. п. о сахаре. Все эти формы: сахар, сахара, сахару, сахаром, сахаре – называются словоформами слова сахар; словоформы часто называют просто словами.

Спросим себя, какой падеж у словоформы сахару. В только что приведённом списке словоформ указано, что это дательный падеж. Теперь посмотрим на фразу

(1) Положить тебе ещё сахару?

Согласится ли любезный читатель, что у слова сахару здесь дательный падеж? Ведь дательный падеж, как известно, отвечает на вопрос Кому?/Чему?. Здесь же слово сахару отвечает на вопрос Чего?. Но на вопрос Чего? отвечает родительный падеж. Но формой родительного падежа для слова сахар служит слово (форма) сахара. Как же быть?

Отложим ответ на заданный вопрос и рассмотрим похожую ситуацию. Самая знаменитая детская песенка начинается со слов

(2) В лесу родилась ёлочка…

В каком падеже здесь слово лесу? Судя по окончанию – в дательном. Однако сразу возникают две трудности, препятствующие тому, чтобы радостно принять этот ответ. Первая трудность аналогична той, которую мы видели в примере (1) со словом сахару. Дательный падеж у слова лес должен отвечать на вопрос Кому?/Чему?, как, например, во фразе

(3) Вернём долги лесу.